Нахождение "замкнутый" формул последовательностей

[Random Drifter]

lel0lel, ну, я на русскую википедию ориентировался - там про это ничего не сказано :)
В любом случае, слово "reinvented" означает "переоткрыл". И поэтому этот "anecdote" никак не противоречит фактам. Быть может, в школе Гаусс еще не читал всех этих книжек и даже не думал, что станет математиком. А само изобретение этого метода независимо от кого-либо и сподвигло его встать на эту стезю. По-моему, звучит весьма правдоподобно.

Мне было бы интереснее узнать, почему формула Коши не сработала во втором примере.

[mihaild]

В выкладки и общие рассуждения не вчитывался, но из

Random Drifter в сообщении #1571759 писал(а):

Интеграл берется по любому замкнутому контуру, включающему все особые точки $F(z)$.

Random Drifter в сообщении #1571779 писал(а):

Формула Коши в данном случае нам скажет, что искомый ряд должен быть равен $e$ (т.е. числу Эйлера или основанию натурального логарифма).

Как вы формулу Коши собираетесь применять к функции с существенной особенностью?
Ну и в любом случае, формула Коши - это частный случай основной теоремы о вычетах, и наш интеграл - это сумма вычетов в нуле и единице, в единице у функции полюс первого порядка (и там вычет равен $e$), в нуле функция легко раскладывается в ряд Лорана, с коэффициентами как раз равными $-\sum\limits_{k=n}^\infty \frac{1}{k!}$.