Нахождение "замкнутых" формул последовательностей

[Mihr]

madschumacher в сообщении #1135641 писал(а):

Есть какой-нть алгоритм алгоритм (может, встроенный во всякие Wolfram или Maxima-у), который вычисляет конечные суммы и ряды, а если они не вычисляются, то радостно сообщает об этом?

Универсального алгоритма для конечных сумм и рядов произвольного вида, как я понимаю, нет. Но есть некоторые классы сумм, для которых можно применить отработанные методы. Можно, пожалуй, уже считать эти методы стандартными. Например, при любом натуральном $m$ можно найти замкнутое выражение для суммы вида $\sum\limits_{k = 1}^n {k^m}$ (см. у Кнута по ссылке выше). Есть и другие "вычислимые" классы сумм. Некоторые ряды удаётся суммировать средствами операционного исчисления (хотя Вы, вероятно, об этом знаете).

[madschumacher]

Mihr в сообщении #1135647 писал(а):

Универсального алгоритма для конечных сумм и рядов произвольного вида, как я понимаю, нет.

Это так странно, учитывая, что для неопределенных интегралов он существует.

Mihr в сообщении #1135647 писал(а):

Некоторые ряды удаётся суммировать средствами операционного исчисления (хотя Вы, вероятно, об этом знаете).

Вы слишком хорошего обо мне мнения... Ну, хотя бы про $\exists$-ние операционного исчисления мне известно, уже хорошо.

В общем, спасибо за информацию. Интересно.

[Mihr]

madschumacher в сообщении #1135649 писал(а):

Это так странно, учитывая, что для интегралов он существует.

Многие интегралы (в некотором смысле, большинство из них) через элементарные функции не выражаются. Мне кажется, не стоит ожидать обнаружения алгоритма, позволяющего найти замкнутую форму для конечной суммы или ряда произвольного вида. Вероятнее всего, для многих сумм (и рядов) такой формы просто не существует.

[Ms-dos4]

madschumacher
Алгоритм Риша действительно есть, и главным образом он решает, является ли интеграл элементарной функцией (ну и в модификации - берётся ли с помощью дополнительных заложенных спецфункций) - но на самом деле в некотором смысле это просто условность. Например ясно, что какую угодно функцию вы не проинтегрируйте пакетом. Но вы можете взять и исследовать её, будет функция вашего имени, добавят в какую нибудь Maple и будет ещё один класс "берущихся" интегралов. Другое дело, что эта функция должна иметь хоть какое-то применение.
P.S.Я уже говорил, что любую сумму можно свести к взятию интегралов (формула Эйлера-Маклорена), но с этого не легче - разве что удобно асимптотики искать.

[Rusit8800]

Все-таки конкретно о методах мне не ответили.Например я только что узнал метод преобразования.Есть еще?
P.S. Не надо повторять про опыт и теорию, это и так понятно, и про Кнута, нужно на школьном уровне.Если кроме метода преобразования и "тупого" нахождения закономерности ничего нет на школьном уровне, то так и скажите.

-- 04.07.2016, 18:57 --

Одной интуиции и чутья недостаточно, если у тебя нет знаний.Ярким примером служат ферматисты, которых немало в одном из разделов этого форума.

[Mihr]

Rusit8800, а что Вы называете методом преобразования?
И от Кнута Вы зря отмахнулись. Попробуйте прочесть метод приведения (стр. 63-64) - разобраться в нём по силам и школьнику. Никакой высшей математики там, по сути, нет. Разве что, используется знак суммы (заглавная "сигма"), ну, так Вы этот знак и так уже знаете. Или вот метод 5 по Кнуту (усложнение и упрощение) - тоже ничего заумного. Кстати, не этот ли метод Вы назвали методом преобразования?
Более мощным методом является использование аппарата конечных разностей: здесь уже придётся разбираться всерьёз. Но и с этим любознательный школьник справиться вполне может - было бы желание. Традиционный аппарат высшей математики здесь тоже остаётся "за кадром".
Хотите разобраться в чём-то новом для себя - нужно потрудиться. Так будет всегда. Ну, или почти всегда.

[Brukvalub]

Rusit8800, посмотрите, например, параграф про телескопические суммы в лекциях Щепина по анализу для школьников СУНЦа.
В целом же, последовательности натуральных чисел, для сумм которых найдены замкнутые формулы - это как крупинки золота в тоннах бесполезной руды. Нет никакой общей теории таких последовательностей, просто есть узкие классы суммируемых последовательностей, и каждый математик эти классы видел, знает и иногда использует.

[Rusit8800]

Brukvalub в сообщении #1135713 писал(а):

Rusit8800, посмотрите, например, параграф про телескопические суммы в лекциях Щепина по анализу для школьников СУНЦа.
В целом же, последовательности натуральных чисел, для сумм которых найдены замкнутые формулы - это как крупинки золота в тоннах бесполезной руды. Нет никакой общей теории таких последовательностей, просто есть узкие классы суммируемых последовательностей, и каждый математик эти классы видел, знает и иногда использует.

Какой это класс?

[StaticZero]

Ещё способ, которому меня когда-то учили шаолиньские монахи преподаватели матанализа, заключался в сведении сумм к нахождению вида рекуррентной последовательности.

Поясню, о чём же я. Вот пусть $s_n = \sum \limits_n a_k = a_1 + \ldots + a_n$. Тогда можно написать

$$ s_n - s_{n - 1} = a_n + a_{n + 1} + \ldots + a_1 - a_{n - 1} - a_{n - 2} - \ldots - a_1 = a_n. $$

Есть такой способ траты своего личного времени, как нахождение явного вида последовательности, заданной рекуррентно. Вам известно $a_n$, нужно найти $s_n$ при начальном условии $s_1 = a_1$.

Например, попробуйте каким-то способом найти $s_n$, заданную следующим образом:

$$ s_n - s_{n - 1} = n, \qquad s_1 = 3. $$

На этот счёт есть какая-то наука. В частности, слова про "характеристическое уравнение", "однородность соотношения" и так далее, которые подобны тем, что используются при рассмотрении дифференциальных уравнений. В этом деле я плохой рассказчик, и заведомо лучше меня это могут проделать Заслуженные Участники.

Восьмикласснику весь этот навороченный аппарат не будет казаться простым. Однако, в олимпиадах допускаются и часто используются решения-догадки, например, пусть вам нужно найти уже упомянутую сумму

$$s_{n} = \dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n - 1}+\sqrt{n}}, \qquad n > 1.$$

Вместо того, чтобы растекаться чернилами по бумаге, можно (нужно?) сказать что-то вроде такого:

Цитата:

Рассмотрим последовательность $s_n = \sqrt{n} - 1$. Покажем, что она представляет значение искомой суммы. Для этого заметим, что при $n = 2$ выполнено

$$ s_2 = \sqrt{2} - 1 = \dfrac{1}{1 + \sqrt{2}}.$$

Теперь пусть при каком-то $m$ верно, что имеющаяся $s_m = \sqrt{m} - 1$ действительно равна значению искомой суммы:

$$s_m = \sqrt{m} - 1 = \dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{m - 1}+\sqrt{m}}.$$

Тогда прибавим слева и справа слагаемое $\dfrac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{m + 1}}$. Имеем

$$\sqrt{m} - 1 + \sqrt{m + 1} - \sqrt{m} = \sqrt{m + 1} - 1 = s_{m + 1} = \dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{m - 1}+\sqrt{m}} + \dfrac{1}{\sqrt{m} + \sqrt{m + 1}},$$

откуда по индукции и следует утверждение, что

$$\dfrac{1}{1+\sqrt{2}} + \dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{n - 1}+\sqrt{n}} = \sqrt{n} - 1. $$

При этом самый процесс нахождения вида $s_n$ вы можете проделывать на черновике. Такой способ записи решения лаконичен, избавляет от тонн грязи и не пропустит ошибку при нахождении $s_n$, если вы только не ошибётесь с прибавлением следующего слагаемого. Тем более, что в восьмом-то классе, или даже в девятом, зубодробительных задач обычно не дают, лишь нужно умудриться "заметить, что...", что и составляет олимпиадный компонент задач.

[Brukvalub]

Rusit8800 в сообщении #1135735 писал(а):

Какой это класс?

Это лекции самого высокого класса, не сомневайтесь!

[Rusit8800]

StaticZero, но,судя по вашей цитате, вы просто взяли готовую последовательность и доказали ее по индукции.Однако это намного, проще чем ее заметить.

[sng1]

Алгоритм механического суммирования Госпера-Зильбергера описан в параграфе 5.8 книги "Конкретная математика". Думаю для школьника 8 класса, интересующегося олимпиадами и суммами, он вполне посилен (конечно, некоторое время затратить придется).