Ещё способ, которому меня когда-то учили
шаолиньские монахи преподаватели матанализа, заключался в сведении сумм к нахождению вида рекуррентной последовательности.
Поясню, о чём же я. Вот пусть

. Тогда можно написать

Есть такой способ траты своего личного времени, как нахождение явного вида
последовательности, заданной рекуррентно. Вам известно

, нужно найти

при начальном условии

.
Например, попробуйте каким-то способом найти

, заданную следующим образом:

На этот счёт есть какая-то наука. В частности, слова про "характеристическое уравнение", "однородность соотношения" и так далее, которые подобны тем, что используются при рассмотрении дифференциальных уравнений. В этом деле я плохой рассказчик, и заведомо лучше меня это могут проделать Заслуженные Участники.
Восьмикласснику весь этот навороченный аппарат не будет казаться простым. Однако, в олимпиадах допускаются и часто используются решения-догадки, например, пусть вам нужно найти уже упомянутую сумму

Вместо того, чтобы растекаться чернилами по бумаге, можно (нужно?) сказать что-то вроде такого:
Цитата:
Рассмотрим последовательность

. Покажем, что она представляет значение искомой суммы. Для этого заметим, что при

выполнено

Теперь пусть при каком-то

верно, что имеющаяся

действительно равна значению искомой суммы:

Тогда прибавим слева и справа слагаемое

. Имеем

откуда по индукции и следует утверждение, что

При этом самый процесс нахождения вида

вы можете проделывать на черновике. Такой способ записи решения лаконичен, избавляет от тонн грязи и не пропустит ошибку при нахождении

, если вы только не ошибётесь с прибавлением следующего слагаемого. Тем более, что в восьмом-то классе, или даже в девятом, зубодробительных задач обычно не дают, лишь нужно умудриться "заметить, что...", что и составляет олимпиадный компонент задач.