Разложить многочлен в кольце.

[PWT]

Sonic86 в сообщении #1131072 писал(а):

Давайте очень медленно: пусть $P(x)$ - многочлен степени 3 над полем $F$. Пусть он разлагается на множители. Что можно сказать о степенях этих множителей?

Степени этих множителей $1,1,1$ или $1,2$

[Sonic86]

PWT в сообщении #1131076 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1131072 писал(а):

Давайте очень медленно: пусть $P(x)$ - многочлен степени 3 над полем $F$. Пусть он разлагается на множители. Что можно сказать о степенях этих множителей?

Степени этих множителей $1,1,1$ или $1,2$

Значит среди них в любом случае есть многочлен какой степени?

[Otta]

А, я вернулась исправиться, а тут уже.

[PWT]

Цитата:

$x^4-1$ над $\mathbb{Z}_5$ попробуйте.

$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)\equiv(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \pmod 5$

Правильно?

Цитата:

Степени этих множителей $1,1,1$ или $1,2$

Значит среди них в любом случае есть многочлен какой степени?[/quote][/quote]
Первой степени.

Может быть это означает, что можно записать так? (предполагая, что разложить получится, потом дойти до противоречия)$x^3+8x^2+7x+2\equiv(x-x_0)(x^2+bx+c)\pmod 5$

[Sonic86]

PWT в сообщении #1131080 писал(а):

$x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)\equiv(x-1)(x+1)(x-3)(x+3) \pmod 5$

Правильно?

Ага
А вот так чуть-чуть красивше: $(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$.

PWT в сообщении #1131080 писал(а):

Значит среди них в любом случае есть многочлен какой степени?
Первой степени.

А теперь вспомните, что $\mathbb{Z}_5$ конечно. Можно просто вычислить $P(a)$ для каждого $a\in\mathbb{Z}_5$. И сделать правильный вывод.

PWT в сообщении #1131080 писал(а):

Может быть это означает, что можно записать так?
$x^3+8x^2+7x+2\equiv(x-x_0)(x^2+bx+c)\pmod 5$

Да, если он приводим.

[PWT]

Ааа, у нас получается, что $P(0)\cdot P(1)\cdot P(2)\cdot P(3)\cdot P(4)\ne 0$, потому многочлен неразложим, верно?

-- 12.06.2016, 21:54 --

Ну или $P(a)\ne 0$ при $a=0,1,2,3,4$ можно записать. Верно?

[Sonic86]

Да.
Причем можно просто вычислить, подставляя элементы $\mathbb{Z}_5$ (а не так, как Вы делали выше).

PWT в сообщении #1131086 писал(а):

Ну или $P(a)\ne 0$ при $a=0,1,2,3,4$ можно записать. Верно?

Да.
Все эти вопросы - простые, Вы на них можете ответить сами.

[PWT]

Понятно, спасибо большое, разобрался. А вот такой многочлен $x^2+634$ можно ли разложить в кольце $\mathbb{Z}_5$ таким образом?

$x^2+634\equiv (x-3)(x+3) \pmod 5$

Или из-за того, что у него $634\notin \{0,1,2,3,4\}$ следует, что неразложим?

[Aritaborian]

Не следует.

[PWT]

Aritaborian в сообщении #1131091 писал(а):

Не следует.

Значит я как-то неверно понял это

Sonic86 в сообщении #1131024 писал(а):

PWT в сообщении #1130994 писал(а):

тут должны быть корни из множества $0,1,2,3,4$ или же коэффициенты?

И корни и коэффициенты.
Если что, $8=3$ в $\mathbb{Z}_5$.

Какие же требования должные предъявляться к $P(x)$, чтобы он был разложим в кольце $\mathbb{Z}_5$.
Про корни из множества $0,1,2,3,4$ я понял, но что еще?
Или же идет речь о коэффициентах в многочленов, участвующих в разложении? Или может свободный член не в счет?

[Sonic86]

PWT в сообщении #1131090 писал(а):

Или из-за того, что у него $634\notin \{0,1,2,3,4\}$ следует, что неразложим?

А при чем здесь $\{0;1;2;3;4\}$??
Вы знаете, что такое фактор-группа?
$\mathbb{Z}_5=\langle\{\{...-10,-5,0,5,10,...\},\{...-9,-4,1,6,11,...\},...,\{...-6,-1,4,9,14,...\}\};+;\cdot \rangle$

PWT в сообщении #1131093 писал(а):

Какие же требования должные предъявляться к $P(x)$, чтобы он был разложим в кольце $\mathbb{Z}_5$.

Это сложный вопрос. Например, критерий над $\mathbb{Q}$ я не знаю.

Короче говоря, Вы что-то поняли, но сильно обрывисто. Вам надо учить все с самого начала.
Начать с того, что такое группа. Знаете?

[Otta]

PWT в сообщении #1131093 писал(а):

Какие же требования должные предъявляться к $P(x)$, чтобы он был разложим в кольце

Да, действительно, какие? Определение не скажете?

[PWT]

Да, знаю что такое группа и фактор-группа.

-- 12.06.2016, 22:21 --

Otta в сообщении #1131095 писал(а):

PWT в сообщении #1131093 писал(а):

Какие же требования должные предъявляться к $P(x)$, чтобы он был разложим в кольце

Да, действительно, какие? Определение не скажете?

Определение чего именно?

[Otta]

PWT в сообщении #1131096 писал(а):

Определение чего именно?

Что такое разложимый в кольце многочлен.
Если под "какие требования" Вы имели в виду какой-то прозрачный критерий разложимости, например, как над полем вещественных чисел, то такого нет, как уже отметили выше.
Но у Вас и с определением не все хорошо. :(

[Sonic86]

PWT в сообщении #1131096 писал(а):

наю что такое группа и фактор-группа.

Ну так $\mathbb{Z}_5=\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$.
Отображение $\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}_5$ позволяет любой многочлен над $\mathbb{Z}$ отобразить в многочлен над $\mathbb{Z}_5$.