Разложить многочлен в кольце.

[PWT]

Разложить $x^3+8x^2+7x+2$ на полиномы минимальной степени в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$

Я не очень понял формулировку, тут должны быть корни из множества $0,1,2,3,4$ или же коэффициенты?

Вижу, что многочлен не имеет целых корней. Но как тут раскладывать на множители тогда?

Пока что не понимаю что требуется в задаче, помогите, пожалуйста, разобраться.

-- 12.06.2016, 15:28 --

[PWT]

Если условие некорректно ввиду того, что многочлен неудачен, то как решить задачу в случае нормального многочлена?
Мне главное идейно понять.

Например, такого $x^4-16x^3+62x^2-80x+33=(x-1)^2(x-3)(x-11)$

[Slav-27]

PWT
$\mathbb Z_5[x]$ обычно означает кольцо многочленов над полем $\mathbb Z_5$.
Поищите у этого многочлена корни в $\mathbb Z_5$.
Если будет 3 корня, то он разложится в произведение 3 многочленов 1 степени...

[Sonic86]

PWT в сообщении #1130994 писал(а):

тут должны быть корни из множества $0,1,2,3,4$ или же коэффициенты?

И корни и коэффициенты.
Если что, $8=3$ в $\mathbb{Z}_5$.

PWT в сообщении #1130994 писал(а):

Вижу, что многочлен не имеет целых корней. Но как тут раскладывать на множители тогда?

Так же, как и $x^2+1$ над $\mathbb{R}$.

PWT в сообщении #1131015 писал(а):

Если условие некорректно ввиду того, что многочлен неудачен, то как решить задачу в случае нормального многочлена?

Например перебором.
Если перебор не вставляет, попробуйте Берлекэмпа https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0 ... 0%BF%D0%B0

[PWT]

Спасибо.

Цитата:

Если что, $8=3$ в $\mathbb{Z}_5$.

А $-2=3$ в $\mathbb{Z}_5$?

-- 12.06.2016, 17:42 --

Если да, то у нас просто должны быть целые коэффициенты и целые корни? Ввиду того, что у $x^3+8x^2+7x+2$ не все корни целые, можно сделать вывод о том, что многочлен $x^3+8x^2+7x+2$ неприводим в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$.

Правильно ли я понимаю?

[Sonic86]

PWT в сообщении #1131025 писал(а):

А $-2=3$ в $\mathbb{Z}_5$?

А как Вы думаете? Попробуйте это доказать.

PWT в сообщении #1131025 писал(а):

у нас просто должны быть целые коэффициенты и целые корни?

Понимаете, $\mathbb{Z}_5$ - это поле. Там все элементы целые. Потому рассуждение необоснованно совершенно.

PWT в сообщении #1131025 писал(а):

Ввиду того, что у $x^3+8x^2+7x+2$ не все корни целые, можно сделать вывод о том, что многочлен $x^3+8x^2+7x+2$ неприводим в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$.

Нет. $x^2+1\equiv (x-3)(x+3) \pmod 5$.

[PWT]

Sonic86 в сообщении #1131026 писал(а):

$x^2+1\equiv (x-3)(x+3) \pmod 5$.

Спасибо!

$x^3+8x^2+7x+2\equiv x^3+8x^2+7x+2+5k \pmod 5$.

Таким образом, нужно разложить $x^3+8x^2+7x+2+5k$ на множители для некоторого целого $k$.

Правильно ли я понял?

[Slav-27]

Неправильно.

Раскладывать надо в $\mathbb Z_5[x]$, а не в $\mathbb Z[x]$.

Забудьте о всех числах, кроме 0, 1, 2, 3, 4.

Для начала надо бы поискать у вашего многочлена корни, несложно найти все корни за конечное число шагов.

[PWT]

Спасибо, но я пока что не понимаю -- как правильно забыть про все числа, кроме 0,1,2,3,4.

То есть не очень понимаю -- что требуется в задаче.

[Slav-27]

Что-то как-то всё пока грустно. Вы знаете, что такое кольцо многочленов над полем? У вас есть про это книжка? Время туда заглянуть.

В задаче требуется разложить данный многочлен в произведение многочленов степени меньше третьей или доказать, что такого разложения не существует.

Я вам уже несколько раз советовал воспользоваться простой теоремой: если $a$ -- корень многочлена $p(x)$, то $p(x)$ делится на многочлен $x-a$. Здесь я имею в виду, что $p(x)$ -- многочлен от одной переменной $x$ над некиим полем, а $a$ -- элемент этого поля.

Почему у вас не получается проверить, какие у вашего многочлена корни?

[PWT]

Спасибо. Будет 2 комплексных корня и один вещественный $x\approx -7,0469$. Но он же все равно нецелый.

Кольцо многочленов — это кольцо, образованное многочленами от одной или нескольких переменных с коэффициентами из другого кольца.

Точно ли следует делить на $x+7,0469$?

-- 12.06.2016, 20:13 --

Может что-то из этого поможет?

$x^3+8x^2+7x+2=(x-4)(x^2+12x+55)+222$, значит $P(4)=222$,

$x^3+8x^2+7x+2=(x-3)(x^2+11x+40)+122$, значит $P(3)=122$,

$x^3+8x^2+7x+2=(x-2)(x^2+10x+27)+56$, значит $P(2)=56$

$x^3+8x^2+7x+2=(x-1)(x^2+9x+16)+18$, значит $P(1)=18$

$x^3+8x^2+7x+2=x(x^2+8x+7)+2$, значит $P(0)=2$

Получившиеся в разложениях квадратные трехчлены неразложимы в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$.

Потому исходный многочлен неразложим в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$. Правильно ли?

Хотя только первые два имели остаток в форме $2+5k$, где $k\in \mathbb{Z}$ (ведь это имело значение, да?)

[Otta]

PWT в сообщении #1131048 писал(а):

Потому исходный многочлен неразложим в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$. Правильно ли?

Он действительно неразложим, только неясно, как это следует из Ваших выкладок. Воспользуйтесь теорией, например, из указаний Sonic86.

[PWT]

Otta в сообщении #1131065 писал(а):

PWT в сообщении #1131048 писал(а):

Потому исходный многочлен неразложим в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$. Правильно ли?

Он действительно неразложим, только неясно, как это следует из Ваших выкладок. Воспользуйтесь теорией, например, из указаний Sonic86.

Может исходный многочлен неразложим в указанном кольце, потому как коэффициента многочлена в это кольцо не входят и все?

Или Вы имеете ввиду алгоритм Берлекэмпа? Там очень хитро расписано. Сложно.

Я бы лучше попробовал разложить многочлен, который раскладывается...

[Sonic86]

PWT в сообщении #1131048 писал(а):

Будет 2 комплексных корня и один вещественный $x\approx -7,0469$. Но он же все равно нецелый.

Вам надо разложить многочлен на множители не над $\mathbb{R}$ и на над $\mathbb{C}$, а над полем вычетов. Приближенные значения корней над $\mathbb{C}$ и их невещественность Вам вообще не помогут никак никогда нипочему.

Смотрите:
$x^2-2=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})=(x-3)(x+3)$ в $\mathbb{Z}_7$, т.е. $\sqrt{2}=3$ в $\mathbb{Z}_7$.
Не знаю, как сильнее можно порвать шаблон.

PWT в сообщении #1131048 писал(а):

Может что-то из этого поможет?
$x^3+8x^2+7x+2=(x-4)(x^2+12x+55)+222$, значит $P(4)=222$,
$x^3+8x^2+7x+2=(x-3)(x^2+11x+40)+122$, значит $P(3)=122$,
$x^3+8x^2+7x+2=(x-2)(x^2+10x+27)+56$, значит $P(2)=56$
$x^3+8x^2+7x+2=(x-1)(x^2+9x+16)+18$, значит $P(1)=18$
$x^3+8x^2+7x+2=x(x^2+8x+7)+2$, значит $P(0)=2$

Получившиеся в разложениях квадратные трехчлены неразложимы в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$.
Потому исходный многочлен неразложим в кольце $\mathbb{Z}_5[x]$. Правильно ли?

Нет, это все не то и плохо связано.

Давайте очень медленно: пусть $P(x)$ - многочлен степени 3 над полем $F$. Пусть он разлагается на множители. Что можно сказать о степенях этих множителей?

PWT в сообщении #1131067 писал(а):

Или Вы имеете ввиду алгоритм Берлекэмпа? Там очень хитро расписано. Сложно.

Сейчас забудьте о нем. Он здесь не нужен.

PWT в сообщении #1131067 писал(а):

потому как коэффициента многочлена в это кольцо не входят и все?

Вы прикалываетесь? Они входят туда! Попробуйте доказать, почему.

PWT в сообщении #1131067 писал(а):

Я бы лучше попробовал разложить многочлен, который раскладывается...

$x^4-1$ над $\mathbb{Z}_5$ попробуйте.

[VAL]

PWT, если Вы действительно хотите разобраться, то Вам следует начинать с выяснения того, как устроено поле $\mathbb Z_5$, как выполнять операции над его элементами.
Это не сложно.

PS: Алгоритм Берлекэмпа - это хорошо. Но для полинома третьей степени над $\mathbb Z_5$ - это стрельба из пушек по воробьям.