Измеримые величины в СТО

[Утундрий]

Помните мою давнюю благополучно заглохшую тему topic77775.html ? Похоже, я там сильно не с самого начала начал, а переключаться было то ли лень то ли тяжко. Так вот, я таки дозрел и в честь сего знаменательного события собираюсь ныне рассмотреть каким образом из формализма СТО можно выдавить время, расстояние, одновременность и скорость. Попутно разглагольствуя, что это за штуки такие и зачем их вообще выдавливать.

Но поскольку любые излияния лучше субъектно ориентировать, в тему призывается schekn! Он все равно сейчас чем-то околоОТОшным озабочен, возможно ему это будет интересно.

И, разумеется, если кто вдруг ошибки рассуждениёв обнаружит, то прошу не стесняться в выражовываниях.

§0 Введение, обозначения и немного математики.

Как известно, миром правит $\mathbb{R}$. Точнее его несложные модификации вроде $\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, которую я для простоты и рассмотрю. Точками в $\mathbb{R}^2 $ являются упорядоченные пары действительных чисел - координат точки, которые можно записывать как $\left( {x^1 ,x^2 } \right)$ или $x^\mu $ или просто $x$. Точки эти можно складывать и умножать на числа: $\left( {x^1 ,x^2 } \right) + \left( {y^1 ,y^2 } \right) = \left( {x^1 + y^1 ,x^2 + y^2 } \right)$, $\lambda \left( {x^1 ,x^2 } \right) = \left( {\lambda x^1 ,\lambda x^2 } \right)$. Также можно рассмотреть какую-нибудь функцию точки $f\left( {x^1 ,x^2 } \right)$ и не только рассмотреть, но даже и продифференцировать $df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^1 + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^2 = \frac{{\partial f}}{{\partial x^\mu }}dx^\mu = f_{,\mu } dx^\mu $. Здесь использовано соглашение о суммировании и введено обозначение частной производной индексом после запятой.

Можно взять две функции и попытаться назначить их новыми координатами точки $x^{1'} = x^{1'} \left( {x^1 ,x^2 } \right),x^{2'} = x^{2'} \left( {x^1 ,x^2 } \right)$. Из затеи выйдет толк, если указанное соответствие будет взаимно однозначным. Матан утверждает, что для этого нужно всего-навсего отличие от нуля (и конечность) так называемого якобиана преобразования $J = \det \left\| {x_{,\nu }^{\mu '} } \right\|$. Прочувствовать якобиан можно несколькими способами. Во-первых, отличие от нуля определителя матрицы намекает на существование у неё обратной. Таким образом, связь дифференциалов новых и старых координат $dx^{\mu '} = x_{,\nu }^{\mu '} dx^\nu $ можно разрешить и в обратную сторону: $dx^\mu = x_{,\nu '}^\mu dx^{\nu '} $. И если, например, набрать линейно независимый пучок этих $dx^\mu $, то преобразованный пучок так же будет линейно независимым. Сюда примыкает второй способ: если рассмотреть элементарный ориентированный объём $dx^1 \wedge dx^2 = - dx^2 \wedge dx^1 $, то его новое выражение $dx^{1'} \wedge dx^{2'} = \left( {x_{,\alpha }^{1'}dx^\alpha } \right) \wedge \left( {x_{,\beta }^{2'} dx^\beta } \right) = \left( {x_{,1}^{1'} dx^1 + x_{,2}^{1'} dx^2 } \right)\wedge \left( {x_{,1}^{2'} dx^1 + x_{,2}^{2'} dx^2 } \right) =\left( {x_{,1}^{1'} x_{,2}^{2'} - x_{,2}^{1'} x_{,1}^{2'} }\right)dx^1 \wedge dx^2 = Jdx^1 \wedge dx^2 $ связано со старым через якобиан!

Известный факт инвариантности первого дифференциала функции нескольких переменных $df = f_{,\mu } dx^\mu = f_{,\mu '} dx^{\mu '} $ даёт нам закон преобразования градиента $f_{,\mu '} = x_{,\mu '}^\nu f_{,\nu } $. Теперь можно рассмотреть произвольные величины $a^\mu $, преобразующиеся как $dx^\mu $ и величины $b_\mu $, преобразующиеся как $f_{,\mu } $. Тогда их свёртка будет так же инвариантна, как и первый дифференциал.

Можно конструировать и более развесистые штуки. Например $df^2 = \left( {f_{,\mu } dx^\mu } \right)\left( {f_{,\nu } dx^\nu } \right) = f_{,\mu } f_{,\nu } dx^\mu dx^\nu $, поэтому $ds^2 = g_{\mu \nu } dx^\mu dx^\nu $ будет инвариантом, если только $g_{\mu \nu } $ преобразуется так же как $f_{,\mu } f_{,\nu } $.

P.S. Если это всё понятно и все со всем согласны, то перейдём непосредственно к обсуждению измеримых в СТО.

[Geen]

Утундрий в сообщении #1127364 писал(а):

Точки эти можно складывать и умножать на числа

А это нужно? зачем?

[Утундрий]

Geen в сообщении #1127385 писал(а):

А это нужно? зачем?

Думаю, без этого не получится состроить дифференциал.

[asimo]

что именно хотите обсуждать? Про измерение величин в сто или квантмех?

[Утундрий]

Только СТО, никаких кванто́в.

[arseniiv]

Начало выглядит действительно надуманным. Если уж начинать, то с аффинного пространства (и тогда точки, конечно, нельзя складывать, но для этого есть векторы параллельных переносов), независимо от того, что будет постулировано (сразу псевдоевклидовость или традиционные вещи, из которых она последует).

-- Вт май 31, 2016 12:31:32 --

(А в конце не получится как у Пенроуза? Я уже в двух книгах видел, как он начинает с требований к многообразию и потом оказывается, что это (раз у него ОТО) псевдориманово и такое-то такое-то. Про расстояния и времена не видел, но и не очень вчитывался, потому что смотрел другое.)

-- Вт май 31, 2016 12:32:01 --

(Точнее, я хотел сказать, получится ли лучше, чем у Пенроуза, если у него вдруг есть всё это?)

-- Вт май 31, 2016 12:34:31 --

Под конец стоит добавить, чем плохо $\mathbb R^2$ — у него есть канонический базис. Разумеется, это здесь ни для кого не новость, просто не было упомянуто.

[Утундрий]

Несмотря на продолжительные размышления, так и не постиг ужаса наличия канонического базиса... Однако, вся необходимая для дальнейшего математическая кухня приведена и я продолжаю.

§1 Пространство событий и интервал

Событие - это то, что произошло, хотя могло и не произойти (с) Ю. М. Лотман

СТО - это теория, которая про события. Общеизвестной, но от этого не менее удивительной, является возможность втиснуть все вообще события сколько их ни есть в рамки одного лишь $\mathbb{R}^4 $. Так что деление клетки, пощёчину, взрыв звезды и столкновение галактик можно промаркировать всего четырьмя числами! Воодушевившись столь Глобальной Истиной (истинной, впрочем, не без оговорок) мы тут же бросимся чертить в пространстве событий всякие кривые, поверхности, 3-поверхности и даже 4-объёмы. Они могут быть сколь угодно красивыми, гладкими и всячески изгибающимися, но толку для физики с них не будет никакого. Пока не появится мера. Меры могут быть разнообразные, но конкретно СТО усиленно рекомендует всячески обратить самое пристальное внимание на интервал:

$$ds^2 = L^2 g_{\mu \nu } dx^\mu dx^\nu \eqno (1)$$

Здесь $g_{\mu \nu }$ преобразуется должным образом, обеспечивая инвариантность всего выражения, а размерная константа $L$ введена в интервал только из соображений удобства, ибо всегда приятней иметь дело с величинами безразмерными. Эта штуковина $(1)$ настолько важна, что ей одной по сути всё и исчерпывается (поэтому я не пожалел для её окружения двойной порции "долларов"). Для некоторого элементарного отрезка, соединяющего $x$ и $x+dx$, знак $ds^2$ может быть как положительным, так отрицательным или же вовсе не быть, в случае когда $ds^2=0$. Если $ds^2>0$, то $ds$ имеет смысл собственного времени. Собственное время - это и есть наша первая измеримая величина. К сожалению, точного и логически строгого определения времени не существует и я вынужден апеллировать к жизненному опыту читателя и к его опытности в нелёгком деле распознавания приблизительно периодических процессов.

Кстати, СТО ещё может порадовать нас фактом наличия таких замечательных координат, в которых

$$ds^2 = L^2 \left[ {\left( {dx^0 } \right)^2 - \left( {dx^1 } \right)^2 - \left( {dx^2 } \right)^2 - \left( {dx^3 } \right)^2 } \right] \eqno (2)$$

Что безусловно приятно, но не так уж принципиально отлично от $(1)$.

[arseniiv]

От размерной константы можно избавиться, взяв $g_{\mu\nu}^I$ вместо $g_{\mu\nu}$, где $I$ пробегает только одно значение. Т. е. $g\in M^*\otimes M^*\otimes T$, где $M$ — пространство Минковского, $T$ — одномерное вещественное векторное пространство (квадратов интервалов) без выделенного базиса и потому выделенной единицы измерения интервала, в результате элементы $T$ автоматически «размерные».

Жалко, что сигнатура $g$ не постулирована. Разве что $(2)$ можно понимать как это.

Под конец, интервал не мера. Надеюсь, это было просто для выразительности. И ещё что-то хотел отметить, но забыл.

[Geen]

Утундрий в сообщении #1127688 писал(а):

Собственное время - это и есть наша первая измеримая величина. К сожалению, точного и логически строгого определения времени не существует и я вынужден апеллировать к жизненному опыту читателя и к его опытности в нелёгком деле распознавания приблизительно периодических процессов.

Ну да, т.е. условно измеримая - два пучка мировых линий частенько "пересекаются", и в результате наблюдаются "удивительные закономерности"

[epros]

Утундрий в сообщении #1127688 писал(а):

Собственное время - это и есть наша первая измеримая величина. К сожалению, точного и логически строгого определения времени не существует и я вынужден апеллировать к жизненному опыту читателя и к его опытности в нелёгком деле распознавания приблизительно периодических процессов.

Geen в сообщении #1127711 писал(а):

Ну да, т.е. условно измеримая - два пучка мировых линий частенько "пересекаются", и в результате наблюдаются "удивительные закономерности"

Следует также отметить тот воистину удивительный факт, что двое идентичных часов, побывавшие в разных краях, а потом встретившиеся, по непонятной причине продолжают оставаться идентичными, то бишь, стоя на одном столе, продолжают отсчитывать секунды с совершенно одинаковой скоростью. Только это непостижимое свойство Природы позволяет определять собственное время через упомянутый интервал.

[Утундрий]

arseniiv в сообщении #1127703 писал(а):

От размерной константы можно избавиться, взяв $g_{\mu\nu}^I$ вместо $g_{\mu\nu}$, где $I$ пробегает только одно значение. Т. е. $g\in M^*\otimes M^*\otimes T$

Гм. А зачем?

epros
Вы совершенно напрасно ввели скорость раньше времени.

[epros]

Утундрий в сообщении #1127744 писал(а):

Вы совершенно напрасно ввели скорость раньше времени.

Гм. А я даже и не заметил. Да, вижу, что там звучит слово "скорость", только это издержки языка. Речь там всего лишь о совпадениях или несовпадениях тиков часов.

Собственно, я этим как раз хотел сказать, что если Вы уж таким путём подбираетесь к СТО (а там может и до трёх черепах дойдём), то Вы несколько преждевременно ввели $g_{\mu \nu}$. Ибо метрическим пространство-время может стать только в том случае, если средства построения метрики будут в какой-то степени сохранять свои свойства при перемещениях.

[Geen]

epros в сообщении #1127716 писал(а):

Следует также отметить тот воистину удивительный факт, что двое идентичных часов, побывавшие в разных краях, а потом встретившиеся, по непонятной причине продолжают оставаться идентичными, то бишь, стоя на одном столе, продолжают отсчитывать секунды с совершенно одинаковой скоростью.

Да, и это при том, что время в пути они намеряют разное.

[Утундрий]

epros в сообщении #1127773 писал(а):

может и до трёх черепах дойдём

До трёх слонов. Черепаха одна.

[epros]

Утундрий в сообщении #1127782 писал(а):

До трёх слонов. Черепаха одна.

Да, это моя прискорбная методологическая ошибка.