2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Измеримые величины в СТО
Сообщение30.05.2016, 22:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Помните мою давнюю благополучно заглохшую тему topic77775.html ? Похоже, я там сильно не с самого начала начал, а переключаться было то ли лень то ли тяжко. Так вот, я таки дозрел и в честь сего знаменательного события собираюсь ныне рассмотреть каким образом из формализма СТО можно выдавить время, расстояние, одновременность и скорость. Попутно разглагольствуя, что это за штуки такие и зачем их вообще выдавливать.

Но поскольку любые излияния лучше субъектно ориентировать, в тему призывается schekn! Он все равно сейчас чем-то околоОТОшным озабочен, возможно ему это будет интересно.

И, разумеется, если кто вдруг ошибки рассуждениёв обнаружит, то прошу не стесняться в выражовываниях.

§0 Введение, обозначения и немного математики.

Как известно, миром правит $\mathbb{R}$. Точнее его несложные модификации вроде $\mathbb{R}^2  = \mathbb{R} \times \mathbb{R}$, которую я для простоты и рассмотрю. Точками в $\mathbb{R}^2 $ являются упорядоченные пары действительных чисел - координат точки, которые можно записывать как $\left( {x^1 ,x^2 } \right)$ или $x^\mu  $ или просто $x$. Точки эти можно складывать и умножать на числа: $\left( {x^1 ,x^2 } \right) + \left( {y^1 ,y^2 } \right) = \left( {x^1  + y^1 ,x^2  + y^2 } \right)$, $\lambda \left( {x^1 ,x^2 } \right) = \left( {\lambda x^1 ,\lambda x^2 } \right)$. Также можно рассмотреть какую-нибудь функцию точки $f\left( {x^1 ,x^2 } \right)$ и не только рассмотреть, но даже и продифференцировать $df = \frac{{\partial f}}{{\partial x^1 }}dx^1  + \frac{{\partial f}}{{\partial x^2 }}dx^2  = \frac{{\partial f}}{{\partial x^\mu  }}dx^\mu   = f_{,\mu } dx^\mu  $. Здесь использовано соглашение о суммировании и введено обозначение частной производной индексом после запятой.

Можно взять две функции и попытаться назначить их новыми координатами точки $x^{1'}  = x^{1'} \left( {x^1 ,x^2 } \right),x^{2'}  = x^{2'} \left( {x^1 ,x^2 } \right)$. Из затеи выйдет толк, если указанное соответствие будет взаимно однозначным. Матан утверждает, что для этого нужно всего-навсего отличие от нуля (и конечность) так называемого якобиана преобразования $J = \det \left\| {x_{,\nu }^{\mu '} } \right\|$. Прочувствовать якобиан можно несколькими способами. Во-первых, отличие от нуля определителя матрицы намекает на существование у неё обратной. Таким образом, связь дифференциалов новых и старых координат $dx^{\mu '}  = x_{,\nu }^{\mu '} dx^\nu  $ можно разрешить и в обратную сторону: $dx^\mu   = x_{,\nu '}^\mu  dx^{\nu '} $. И если, например, набрать линейно независимый пучок этих $dx^\mu $, то преобразованный пучок так же будет линейно независимым. Сюда примыкает второй способ: если рассмотреть элементарный ориентированный объём $dx^1  \wedge dx^2  =  - dx^2  \wedge dx^1 $, то его новое выражение $dx^{1'}  \wedge dx^{2'}  = \left( {x_{,\alpha }^{1'}dx^\alpha  } \right) \wedge \left( {x_{,\beta }^{2'} dx^\beta  } \right) = \left( {x_{,1}^{1'} dx^1  + x_{,2}^{1'} dx^2 } \right)\wedge \left( {x_{,1}^{2'} dx^1  + x_{,2}^{2'} dx^2 } \right) =\left( {x_{,1}^{1'} x_{,2}^{2'}  - x_{,2}^{1'} x_{,1}^{2'} }\right)dx^1  \wedge dx^2  = Jdx^1  \wedge dx^2 $ связано со старым через якобиан!

Известный факт инвариантности первого дифференциала функции нескольких переменных $df = f_{,\mu } dx^\mu   = f_{,\mu '} dx^{\mu '} $ даёт нам закон преобразования градиента $f_{,\mu '}  = x_{,\mu '}^\nu  f_{,\nu } $. Теперь можно рассмотреть произвольные величины $a^\mu  $, преобразующиеся как $dx^\mu  $ и величины $b_\mu  $, преобразующиеся как $f_{,\mu } $. Тогда их свёртка будет так же инвариантна, как и первый дифференциал.

Можно конструировать и более развесистые штуки. Например $df^2  = \left( {f_{,\mu } dx^\mu  } \right)\left( {f_{,\nu } dx^\nu  } \right) = f_{,\mu } f_{,\nu } dx^\mu  dx^\nu  $, поэтому $ds^2  = g_{\mu \nu } dx^\mu  dx^\nu  $ будет инвариантом, если только $g_{\mu \nu } $ преобразуется так же как $f_{,\mu } f_{,\nu } $.

P.S. Если это всё понятно и все со всем согласны, то перейдём непосредственно к обсуждению измеримых в СТО.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение30.05.2016, 23:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
Утундрий в сообщении #1127364 писал(а):
Точки эти можно складывать и умножать на числа

А это нужно? зачем?

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение31.05.2016, 00:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Geen в сообщении #1127385 писал(а):
А это нужно? зачем?

Думаю, без этого не получится состроить дифференциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение31.05.2016, 05:56 


18/05/16

9
что именно хотите обсуждать? Про измерение величин в сто или квантмех?

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение31.05.2016, 07:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Только СТО, никаких кванто́в.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение31.05.2016, 10:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
Начало выглядит действительно надуманным. Если уж начинать, то с аффинного пространства (и тогда точки, конечно, нельзя складывать, но для этого есть векторы параллельных переносов), независимо от того, что будет постулировано (сразу псевдоевклидовость или традиционные вещи, из которых она последует).

-- Вт май 31, 2016 12:31:32 --

(А в конце не получится как у Пенроуза? Я уже в двух книгах видел, как он начинает с требований к многообразию и потом оказывается, что это (раз у него ОТО) псевдориманово и такое-то такое-то. Про расстояния и времена не видел, но и не очень вчитывался, потому что смотрел другое.)

-- Вт май 31, 2016 12:32:01 --

(Точнее, я хотел сказать, получится ли лучше, чем у Пенроуза, если у него вдруг есть всё это?)

-- Вт май 31, 2016 12:34:31 --

Под конец стоит добавить, чем плохо $\mathbb R^2$ — у него есть канонический базис. Разумеется, это здесь ни для кого не новость, просто не было упомянуто.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение31.05.2016, 23:37 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
Несмотря на продолжительные размышления, так и не постиг ужаса наличия канонического базиса... Однако, вся необходимая для дальнейшего математическая кухня приведена и я продолжаю.

§1 Пространство событий и интервал

Событие - это то, что произошло, хотя могло и не произойти (с) Ю. М. Лотман

СТО - это теория, которая про события. Общеизвестной, но от этого не менее удивительной, является возможность втиснуть все вообще события сколько их ни есть в рамки одного лишь $\mathbb{R}^4 $. Так что деление клетки, пощёчину, взрыв звезды и столкновение галактик можно промаркировать всего четырьмя числами! Воодушевившись столь Глобальной Истиной (истинной, впрочем, не без оговорок) мы тут же бросимся чертить в пространстве событий всякие кривые, поверхности, 3-поверхности и даже 4-объёмы. Они могут быть сколь угодно красивыми, гладкими и всячески изгибающимися, но толку для физики с них не будет никакого. Пока не появится мера. Меры могут быть разнообразные, но конкретно СТО усиленно рекомендует всячески обратить самое пристальное внимание на интервал:
$$ds^2  = L^2 g_{\mu \nu } dx^\mu  dx^\nu  \eqno (1)$$
Здесь $g_{\mu \nu }$ преобразуется должным образом, обеспечивая инвариантность всего выражения, а размерная константа $L$ введена в интервал только из соображений удобства, ибо всегда приятней иметь дело с величинами безразмерными. Эта штуковина $(1)$ настолько важна, что ей одной по сути всё и исчерпывается (поэтому я не пожалел для её окружения двойной порции "долларов"). Для некоторого элементарного отрезка, соединяющего $x$ и $x+dx$, знак $ds^2$ может быть как положительным, так отрицательным или же вовсе не быть, в случае когда $ds^2=0$. Если $ds^2>0$, то $ds$ имеет смысл собственного времени. Собственное время - это и есть наша первая измеримая величина. К сожалению, точного и логически строгого определения времени не существует и я вынужден апеллировать к жизненному опыту читателя и к его опытности в нелёгком деле распознавания приблизительно периодических процессов.

Кстати, СТО ещё может порадовать нас фактом наличия таких замечательных координат, в которых
$$ds^2  = L^2 \left[ {\left( {dx^0 } \right)^2  - \left( {dx^1 } \right)^2  - \left( {dx^2 } \right)^2  - \left( {dx^3 } \right)^2 } \right] \eqno (2)$$
Что безусловно приятно, но не так уж принципиально отлично от $(1)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение31.05.2016, 23:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
27145
От размерной константы можно избавиться, взяв $g_{\mu\nu}^I$ вместо $g_{\mu\nu}$, где $I$ пробегает только одно значение. Т. е. $g\in M^*\otimes M^*\otimes T$, где $M$ — пространство Минковского, $T$ — одномерное вещественное векторное пространство (квадратов интервалов) без выделенного базиса и потому выделенной единицы измерения интервала, в результате элементы $T$ автоматически «размерные».

Жалко, что сигнатура $g$ не постулирована. Разве что $(2)$ можно понимать как это.

Под конец, интервал не мера. Надеюсь, это было просто для выразительности. :-) И ещё что-то хотел отметить, но забыл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 00:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
Утундрий в сообщении #1127688 писал(а):
Собственное время - это и есть наша первая измеримая величина. К сожалению, точного и логически строгого определения времени не существует и я вынужден апеллировать к жизненному опыту читателя и к его опытности в нелёгком деле распознавания приблизительно периодических процессов.

Ну да, т.е. условно измеримая - два пучка мировых линий частенько "пересекаются", и в результате наблюдаются "удивительные закономерности" :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 00:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Утундрий в сообщении #1127688 писал(а):
Собственное время - это и есть наша первая измеримая величина. К сожалению, точного и логически строгого определения времени не существует и я вынужден апеллировать к жизненному опыту читателя и к его опытности в нелёгком деле распознавания приблизительно периодических процессов.

Geen в сообщении #1127711 писал(а):
Ну да, т.е. условно измеримая - два пучка мировых линий частенько "пересекаются", и в результате наблюдаются "удивительные закономерности" :-)

Следует также отметить тот воистину удивительный факт, что двое идентичных часов, побывавшие в разных краях, а потом встретившиеся, по непонятной причине продолжают оставаться идентичными, то бишь, стоя на одном столе, продолжают отсчитывать секунды с совершенно одинаковой скоростью. Только это непостижимое свойство Природы позволяет определять собственное время через упомянутый интервал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 07:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
arseniiv в сообщении #1127703 писал(а):
От размерной константы можно избавиться, взяв $g_{\mu\nu}^I$ вместо $g_{\mu\nu}$, где $I$ пробегает только одно значение. Т. е. $g\in M^*\otimes M^*\otimes T$

Гм. А зачем?

epros
Вы совершенно напрасно ввели скорость раньше времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 10:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Утундрий в сообщении #1127744 писал(а):
Вы совершенно напрасно ввели скорость раньше времени.

Гм. А я даже и не заметил. Да, вижу, что там звучит слово "скорость", только это издержки языка. Речь там всего лишь о совпадениях или несовпадениях тиков часов.

Собственно, я этим как раз хотел сказать, что если Вы уж таким путём подбираетесь к СТО (а там может и до трёх черепах дойдём), то Вы несколько преждевременно ввели $g_{\mu \nu}$. Ибо метрическим пространство-время может стать только в том случае, если средства построения метрики будут в какой-то степени сохранять свои свойства при перемещениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 10:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/09/13
2698
epros в сообщении #1127716 писал(а):
Следует также отметить тот воистину удивительный факт, что двое идентичных часов, побывавшие в разных краях, а потом встретившиеся, по непонятной причине продолжают оставаться идентичными, то бишь, стоя на одном столе, продолжают отсчитывать секунды с совершенно одинаковой скоростью.

Да, и это при том, что время в пути они намеряют разное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 10:47 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


15/10/08
9238
epros в сообщении #1127773 писал(а):
может и до трёх черепах дойдём

До трёх слонов. Черепаха одна.

 Профиль  
                  
 
 Re: Измеримые величины в СТО
Сообщение01.06.2016, 11:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
8617
Утундрий в сообщении #1127782 писал(а):
До трёх слонов. Черепаха одна.

Да, это моя прискорбная методологическая ошибка. :oops:

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Jnrty, whiterussian, profrotter, Парджеттер, Eule_A, Pphantom, photon, Aer, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group