Сопряженный оператор

[GrandCube]

Доказать, что $Ker{A^*A}=Ker{A}$. Подскажите пожалуйста, как грамотно провести доказательство? Использовать равенство $A^*A=A^TA$, затем сказать, что ранг произведения $AA^T$не превосходит ранга любого из сомножителей, а ранги сомножителей равный, и завязать это на теорему Кронекера-Капелли?

[Mikhail_K]

Пользуясь определением ядра, выведите из $u\in\operatorname{Ker}A$ утверждение $u\in\operatorname{Ker}A^*A$ (это просто).
Затем наоборот - из $u\in\operatorname{Ker}A^*A$ нужно вывести $u\in\operatorname{Ker}A$. Это чуть посложнее. Заметьте, что из $u\in\operatorname{Ker}A^*A$ следует $(A^*Au,u)=0$, и воспользуйтесь определением сопряжённого оператора.
Проверьте кстати, вправду ли $A^*Au$ и $u$ лежат в одном и том же пространстве, чтобы их можно было перемножать скалярно.
Этот способ - без рангов и транспонированных матриц - хорош тем, что годится и в бесконечномерном случае.

[GrandCube]

Cпасибо, идея предельно понятна. Но вот я не совсем уверен, что понял шаг доказательства, где нужно польщоваться определением сопряженного оператора. То есть $(A^*Au,u)=(Au,Au)$? Вроде это следует из определения $(Ax,y)=(x,A^*y)$

[Mikhail_K]

GrandCube в сообщении #1126100 писал(а):

Но вот я не совсем уверен, что понял шаг доказательства, где нужно польщоваться определением сопряженного оператора. То есть $(A^*Au,u)=(Au,Au)$? Вроде это следует из определения $(Ax,y)=(x,A^*y)$

Весь вопрос в том, удастся ли Вам из этого получить требуемое. Если удастся, значит всё правильно.

[GrandCube]

В том и дело, что нет, видимо. Ведь $(Au,Au)\ne0$

[Mikhail_K]

GrandCube в сообщении #1126182 писал(а):

Ведь $(Au,Au)\ne0$

Пожалуйста поясните, откуда Вы сделали такое умозаключение.

[alcoholist]

Mikhail_K в сообщении #1126186 писал(а):

Пожалуйста поясните, откуда Вы сделали такое умозаключение.

не... надо спрашивать "в каком случае это выполнено":^)

[GrandCube]

Простите пожалуйста за долгий ответ. Все понял, да. Получается, что $(Au,Au)=0$ тогда и только тогда, когда $u\in Ker{A}$, иначе это положительная величина по определению. Спасибо!

[Mikhail_K]

GrandCube в сообщении #1126552 писал(а):

Простите пожалуйста за долгий ответ. Все понял, да. Получается, что $(Au,Au)=0$ тогда и только тогда, когда $u\in \operatorname{Ker}{A}$, иначе это положительная величина по определению. Спасибо!

Таким образом, какое получается полное доказательство? Напишите.

(Оффтоп)

Вместо $Ker$ надо писать $\operatorname{Ker}$

[alcoholist]

(Оффтоп)

или $\mathrm{ker}$