Задача Коши

[Vince Diesel]

Ну раз задача учебная, вот была похожая тема. Человек таки досчитал через преобразование Фурье. Правда, там искалось сразу решение, а не ф.р. Но синус гиперболический не принадлежит $S'(\mathbb R)$$, так что с преобразованием Фурье от него туго.

[armez]

Vince Diesel, ничего, всё равно спасибо. Это может быть полезной подсказкой.
По-моему, там от преобразования Фурье в последний момент отказались.

-- 26.05.2016, 18:26 --

Правда, та задача - олимпиадная. Интересно было бы узнать идею олимпиадного решения.

[DeBill]

armez в сообщении #1126297 писал(а):

Решение в виде степенного ряда получается без предположений о росте. Этот ряд обрывается при $\lambda = 2n$.

Это Вы - о собственных функциях?
Ну тогда уж - давайте сразу искать решение вашей задачи в виде степенного ряда (по $t$). Все к-ты имеют экспоненциальный рост (типа, синус на многочлен). Возможно, и область сходимости удастся посчитать-оценить.
Да вот только - это тоже насильственное сужение класса допустимых решений (вместо оценок роста требуем аналитичность) - ничем не лучше....

[armez]

DeBill в сообщении #1126322 писал(а):

... ничем не лучше....

- ничем, кроме того, что допускаем функции, которые не принадлежат $L^2$ с весом, а решение может оказаться именно такой функцией.

[DeBill]

armez в сообщении #1126325 писал(а):

ничем, кроме того, что допускаем функции, которые не принадлежат $L^2$ с весом

Дык: я ж написал выше, что такой подход как раз и приводит, в результате, к не шибко сильно растущим решениям...
Но все-таки: что же не доделать задачу? К-ты Фурье - считаются явно!

[armez]

DeBill в сообщении #1126335 писал(а):

... к не шибко сильно растущим решениям...

извините, не уяснил. Коэффициенты имеют экспоненциальный рост, это понятно. Как отсюда получить оценку роста решения?

(Оффтоп)

Для сравнения: задача Коши y'=y, y(0)=1 имеет экспоненциально растущее решение при постоянных коэффициентах.

Конечно, вряд ли учебное задание предполагало такие предварительные оценки, но всё равно хотелось бы понять, что там происходит.
Если бы удалось доказать, что решение попадает в пространство с весом, это сняло бы все вопросы с полнотой,
и всё действительно свелось бы к коэффициентам Фурье по системе функций Эрмита.

[Vince Diesel]

armez в сообщении #1126317 писал(а):

Правда, та задача - олимпиадная. Интересно было бы узнать идею олимпиадного решения.

Интересно бы узнать идею этой учебной задачи И условие то правильное? Ф.р. я таки посчитал с помощью компьютера, и, глядя на него, можно угадать замену, сводящую однородное уравнение к теплопроводности. Однако что-то ответ в элементарных функция не хочет вычисляться. Вот если бы $\sinh 3x $ стояло в начальном условии, а не в правой части, тогда да. Выходит в элементарных функциях. А если потом этот результат по принципу Дюамеля интегрировать от нуля до $t$, чтобы получить правую часть, то все, математика не считает

И вообще, какой у вас курс хоть, что известно? А то, мало ли, там знание чего-нибудь нетривиального предполагается, вроде группового анализа

[DeBill]

Vince Diesel
Ну, неоднородность то убить легко, и тогда в начальном условии будет $\int\limits_{}^{} \sh (3x) \cdot e^{-x^2} dx$ . Но это - тоже плохо, да?

-- 26.05.2016, 23:19 --

armez
Ну, если совсем по простому действовать: искать решение в виде ряда по степеням $t$. Тогда последовательно находятся к-ты ряда, и все они есть комбинации кохинуса и хинуса, с полиномиальными к-тами. Но ряд какой-то дурной получается, боюсь, не свернется он в чё-нить хорошее...

[Vince Diesel]

Уже не элементарная функция $\mathrm{erf}$ получается. Нет, математика думала минут пять думала и не посчитала. A ф.р. там такое получается:

$$ \Gamma(x,y,t)=\frac{e^{2 t-\frac{\left(x-e^{2 t} y\right)^2}{e^{4 t}-1}}}{\sqrt{\pi } \sqrt{e^{4 t}-1}}. $$

По $y$ интегрируется, а по $t$ не особо.

[armez]

Vince Diesel в сообщении #1126358 писал(а):

armez в сообщении #1126317 писал(а):

Правда, та задача - олимпиадная. Интересно было бы узнать идею олимпиадного решения.

Интересно бы узнать идею этой учебной задачи И условие то правильное? Ф.р. я таки посчитал с помощью компьютера, и, глядя на него, можно угадать замену, сводящую однородное уравнение к теплопроводности. Однако что-то ответ в элементарных функция не хочет вычисляться. Вот если бы $\sinh 3x $ стояло в начальном условии, а не в правой части, тогда да. Выходит в элементарных функциях. А если потом этот результат по принципу Дюамеля интегрировать от нуля до $t$, чтобы получить правую часть, то все, математика не считает

И вообще, какой у вас курс хоть, что известно? А то, мало ли, там знание чего-нибудь нетривиального предполагается, вроде группового анализа

К сожалению, никакой идеи, никаких указаний и даже никаких гарантий, что условие - правильное.
Ответа нет. Курс - не мой, и что известно - неизвестно...
О групповом анализе, оказывается, подумал не только я
Фундаментальное решение искать не требовалось, только решение с данной неоднородностью.
Возможно, нужно было искать решение в каком-либо определённом виде, но это неизвестно.
В принципе, было подозрение, что в условии - опечатка.

[armez]

DeBill в сообщении #1126361 писал(а):

armez
Ну, если совсем по простому действовать: искать решение в виде ряда по степеням $t$. Тогда последовательно находятся к-ты ряда, и все они есть комбинации кохинуса и хинуса, с полиномиальными к-тами. Но ряд какой-то дурной получается, боюсь, не свернется он в чё-нить хорошее...

Если - по-простому, то уравнение можно переписать в виде

$$u_t=Au+f, \,\, A=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}-2x \frac{\partial}{\partial x}, \,\, f(x)= \sh 3x.$$

Тогда - формально! - решение при условии $u|_{t=0}=0$ примет вид

$$u=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n+1}}{(n+1)!}A^n f.$$

И у меня тоже не сворачивается.

[svv]

$$u=e^{\frac 9 4}\int\limits_{\frac 3 2 e^{-2t}}^{\frac 3 2}e^{-z^2}\;\frac{\sh 2zx}{2z}\;dz$$

[Vince Diesel]

svv
Как у вас такое простое выражение получилось?

[svv]

Я искал решение в виде:
$u(x,t)=\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(t) H_n(x)$
Гиперболический синус тоже разложил по полиномам Эрмита. Точнее, сначала вместо шинуса я проделал всё для $e^{3x}$. Решение для $e^{-3x}$ получалось отсюда уже автоматически.

Так вот, мне дважды повезло. Везение первое: в Градштейне-Рыжике нашёлся интеграл 7.374(6) на стр.851
$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-(x-y)^2}H_n(x)dx=\pi^{\frac 1 2}y^n 2^n$
Он позволил быстро получить коэффициенты разложения $e^{3x}$ по полиномам Эрмита. Важно, что в правой части стоит совсем простое выражение.

А второе везение — в томе II справочника «Высшие трансцендентные функции» Бейтмена и Эрдейи на стр. 194 в пункте «Производящие функции» нашлась такая формула (19):
$\sum\limits_{n=0}^{\infty} H_n(x) \dfrac{z^n}{n!}=\exp(2xz-z^2)$
У меня был лишний множитель $n$ в знаменателе левой части, но его можно убрать дифференцированием по $z$ (благодаря чему в ответе появляется досадное интегрирование по $z$, а так было бы совсем просто). Это позволило свернуть ряд. (Другой вопрос — а лучше ли интеграл, чем ряд?)

Вопросы сходимости и т.п. меня не слишком заботили. Позиция такая: полученная функция проверяется подстановкой в уравнение, чем и оправдываются все преобразования, которые надо рассматривать как эвристические.

[armez]

svv, спасибо в любом случае.
Возможно, сложновато для учебной задачи (хотя, с друой стороны, производящая функция
для полиномов Эрмита - не очень страшная вещь). К тому же, интеграл в ответе не убирается...
В то же время, в большинстве заданий на метод разделения переменных вопросы сходимости
и законности почленного интегрирования ряда по собственным функциям, как правило,
строго не исследуются. Может, и в самом деле, зря я вцепился в эту полноту...