Задача Коши

[armez]

Дана задача Коши $u_t=u_{xx}-2xu_x+\sh 3x, -\infty <x<+\infty , \, t>0; u|_{t=0}=0.$
Как "бороться" с переменным коэффициентом х ?

[DeBill]

armez
Ну, подстановкой $u=v\cdot\exp (\frac{x^2}{2})$ можно первую производную убить, и получится симметричный оператор. Это наводит на мысль, что исходный диф. оператор из правой части - самосопряженный в $L_2$ на прямой с весом $e^{-x^2}$. А там есть ортосистема из многочленов Эрмита. А они ....О, да они же - собственные функции для нашего оператора!!!!!!
Итак, все эти наводящие соображения можно теперь выбросить, и сразу брать задачу за рога: разлагаем решение и неоднородность (ха-ха, гиперболический синус !) в ряд по многочленам Эрмита. Для коэф-тов разложения получим простенькие линейные неоднородные дифурики. Решаем - и дело в шляпе. Может, даже повезет, и к-ты Фурье удастся явно посчитать - ну, там, интегрирование по частям, и т.п.. А может, даже и решение тогда удастся свернуть - там, типа, геом. прогрессия вылезет: собственные значения равны $-2n$, для $H_n$...

[armez]

Симметричный - да, но с самосопряжённостью неясно. Неоднородность экспоненциально растёт не бесконечности. Где гарантия, что решение задачи достаточно искать в таком пространстве? Поэтому полнота системы функций Эрмита в данной задаче для меня неочевидна, так что даже разложить решение в ряд пока не имею права. К тому же, у соответствующей задачи Штурма-Лиувилля спектр дискретен при степенном ограничении на рост собственных функций на бесконечности, а такого ограничения в исходной задаче нет.

Кроме того, с вычислением коэффициентов разложения синуса тоже чего-то хорошего не получилось. Соответственно, сворачивать пока нечего.

[Red_Herring]

Самосопряженность и правая часть никак не связаны. Чтобы разложить вспомните рекуррентное определение функций Эрмита.

[armez]

Red_Herring в сообщении #1125972 писал(а):

Самосопряженность и правая часть никак не связаны.

Косвенно - связаны. Я объяснил, почему.

Red_Herring в сообщении #1125972 писал(а):

Чтобы разложить вспомните рекуррентное определение функций Эрмита.

Рекуррентные соотношения помню. Ответа на свой вопрос не вижу.

[Vince Diesel]

Если уж получилось после замены уравнение теплопроводности, можно воспользоваться явной формулой для решения через свертку правой части с фундаментальным решением. По крайней мере интеграл по пространственной переменной будет суммой экспонент от квадратных многочленов - считается.

-- Ср май 25, 2016 21:18:34 --

Упс, там не чистая теплопроводность будет, а младший член еще.
armez
Это учебная задача такая?

[DeBill]

armez в сообщении #1125955 писал(а):

Неоднородность экспоненциально растёт не бесконечности.

Ну и что? Благополучно попадает в наше $L_2$ с весом....

armez в сообщении #1125955 писал(а):

полнота системы функций Эрмита в

Многочлены Эрмита получаются из системы $x^n$ процессом ортогонализации. Разве это не даст их полноту?

armez в сообщении #1125955 писал(а):

у соответствующей задачи Штурма-Лиувилля спектр дискретен при степенном ограничении на рост собственных функций на бесконечности

Это я не понял...

armez в сообщении #1125955 писал(а):

вычислением коэффициентов разложения

Не повезло, значить...Но странно...К-ты Фурье будут иметь вид, типа $\int\limits_{-\infty}^{\infty} \sh (3x)\cdot \frac{d^n}{dx^n} (e^{-x^2}) dx$. Вроде бы, производные все перекидываются....

-- 25.05.2016, 22:29 --

Vince Diesel в сообщении #1126023 писал(а):

не чистая теплопроводность будет, а младший член еще.

Ну да. Он, собака, все и портит...

[Vince Diesel]

Можно попытаться найти ф.р. этого уравнения прямо, сделав преобразование Фурье по $x$. Получится УРЧП первого порядка. Решить, потом обратное преобразование Фурье. Вдруг повезет и ответ выразится в элементарных функциях

[DeBill]

armez

Возможно, у нас имеют место быть непонятки в обозначениях. Я использовал терминологию Зорича.
В Вики, эти многочлены называют "физическими". Кстати, там же есть и разложения экспонент и их комбинаций по многочленам Эрмита. Так что, если лень считать - можно воспользоваться их формулами (с учетом перенормировки от "математических" к "физическим").

-- 25.05.2016, 22:44 --

Vince Diesel в сообщении #1126046 писал(а):

сделав преобразование Фурье по $x$.

Это я смотрел: там проблема: произведение $-2x\cdot u_x$ станет сверткой...

[Vince Diesel]

Почему сверткой, $(\xi\tilde u)_\xi$.

[DeBill]

Vince Diesel

(Оффтоп)

Ой, чё эт я...
Сверткой то оно сверткой будет - но с производной от дельта-функции...

[armez]

Задача учебная.
Скорее всего, она не рассчитана на такие средства, как разложение по полиномам
Эрмита (законность которого в данном случае ещё нужно обосновать).
Возможно, какая-то замена сводит задачу к уравнению теплопроводности, но я её не вижу.

Процесс ортогонализации даёт ортогональность, но сам по себе не гарантирует полноту
(хотя, возможно, в данном случае она следует из каких-то дополнительных соображений).

DeBill в сообщении #1126042 писал(а):

armez в сообщении #1125955 писал(а):

Неоднородность экспоненциально растёт не бесконечности.

Ну и что? Благополучно попадает в наше $L_2$ с весом....

Попадает - неоднородность, а нужно, чтобы попадало само решение. Я не вижу, откуда это следует.
Разве мы знаем заранее, что решение не может расти быстрее?

DeBill в сообщении #1126042 писал(а):

armez в сообщении #1125955 писал(а):

у соответствующей задачи Штурма-Лиувилля спектр дискретен при степенном ограничении на рост собственных функций на бесконечности

Это я не понял...

Это есть, например, у Тихонова и Самарского в Дополнении о полиномах Чебышёва-Эрмита.

[armez]

Для сравнения можно вспомнить, что происходит при разделении переменных в уравнении теплопроводности. Там для координатного сомножителя получается уравнение $X''(x)+\lambda X(x)=0$, всего собственных чисел - континуум, и разложение по собственным функциям имеет вид интеграла. В данном случае координатная часть удовлетворяет уравнению $X''(x) - 2xX'(x) +\lambda X(x)=0$, и оно имеет решения (выражающиеся, вообще говоря, через функции Эрмита 2-го рода) не только при $\lambda=2n$. Тем не менее, мы оставляем из них только счётное множество и утверждаем, что полнота сохраняется. На каком основании?

[DeBill]

armez
1.Без каких-либо ограничений на рост решения мы ничего и не получим.
2. При ограничении "квадрат функции (решения) интегрируем (с весом $e^{-x^2}$)на прямой ", получим все.
Вычисление спектра в этом случае можно найти в книге Свешников и .."Лекции по мат.физике". В частности, Теорема 4.4 оттуда дает полноту многочленов Эрмита....

[armez]

Книгу Свешникова и др. найти пока не получилось, буду продолжать попытки.

DeBill в сообщении #1126274 писал(а):

armez
1.Без каких-либо ограничений на рост решения мы ничего и не получим.

- не совсем понятно, почему? Решение в виде степенного ряда получается без предположений о росте. Этот ряд обрывается при $\lambda = 2n$.
Под рукой есть Тихонов и Самарский, где это ясно написано.

DeBill в сообщении #1126274 писал(а):

2. При ограничении "квадрат функции (решения) интегрируем (с весом $e^{-x^2}$)на прямой ", получим все.
Вычисление спектра в этом случае можно найти в книге Свешников и .."Лекции по мат.физике". В частности, Теорема 4.4 оттуда дает полноту многочленов Эрмита....

... - полноту только в этом пространстве, это не вызывало сомнений.

-- 26.05.2016, 17:12 --

Книга нашлась. Там многочлены Эрмита рассматриваются с точки зрения общей теории ортогональных полиномов (очень напоминает Суетина), ограничения на рост вводятся, фактически, с самого начала.