2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 20:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Требуется представить отрезок в виде объединения нескольких не пересекающихся множеств, которые получаются друг из друга сдвигом, либо отражением.
На всякий случай скажу, что ровно на одну часть, или на континуум частей из одной точки мне разбить кое-как удалось :-) .
Скорее всего, задача простая или известная, но мне никак не поддаётся.
Попытки решения.
Начну с разбиения на две части. Если части уравниваются отражением, то разбиение невозможно, ибо середина отрезка должна принадлежать сразу двум частям.
Если равенство частей достигается сдвигом, то обе части должны иметь минимальный и максимальный элемент в составе полуинтервала, и продолжаться как-то в зависимости друг от друга. Тоже должно получаться какое-то противоречие?
Я уж не говорю о счётном количестве частей, или о разбиении шара :oops:
Может быть, уже обсуждалось?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 21:01 
Заслуженный участник


20/08/14
6688
Россия, Москва
Простите, а это вообще возможно? Ведь при разбиении на части каждая часть должна иметь минимум один открытый конец, при этом два открытых конца вместе не стыкуются (как и два закрытых), значит при любом объединении частей всегда будет минимум один открытый конец. В исходном отрезке же оба конца закрыты. Противоречие.

-- 05.05.2016, 21:17 --

В задаче с разрезанием всё проще: можно договориться что нож удаляет центральную точку (область), оставляя два открытых полуинтервала, сделать которые равными (по отражению) не проблема. Но разрезать можно будет лишь ровно на две части - на три и более останутся части открытые с обоих концов, которые не равны крайним частям исходного отрезка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 21:23 
Заслуженный участник


03/01/09
1404
москва
Вроде бы возможно разбиение на 5 частей: три замкнутых промежутка одинаковой длины и два открытых промежутка. С чередованием: ЗОЗОЗ. Или я что-то не так понял?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 21:30 
Заслуженный участник


20/08/14
6688
Россия, Москва
В таком варианте возможно и на три части: ЗОЗ. Но по условию все части должны быть равными, т.е. одинаковыми с точностью до сдвигов и поворотов (отражений). А З и О не равны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 21:31 
Заслуженный участник


23/07/08
8156
Харьков
Dmitriy40
Части не обязаны быть связными. Может, это поможет?

mihiv
Любая часть должна получаться из любой сдвигом и/или отражением.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 21:35 
Заслуженный участник


20/08/14
6688
Россия, Москва
svv в сообщении #1121327 писал(а):
Части не обязаны быть связными. Может, это поможет?
Вроде бы нет, не поможет, ведь я основывался лишь на факте открытости/закрытости конца, без требования непрерывности множества.
Но вспоминая парадокс удвоения шара - я уже не уверен, континуум дело такое, сложное.

-- 05.05.2016, 21:39 --

Кстати, похоже используя этот парадокс (точнее аналогичные теоремы относительно плоскости и прямой) можно доказать невозможность желаемого разбиения. Но это уже не в моих силах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 22:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13760
Dmitriy40, при разбиении на две части со сдвигом оба конца отрезка не могут принадлежать одной части, то есть обе части обязаны иметь свой минимальный и максимальный элемент. Будет существовать минимальный сдвиг, а тогда каждая часть будет состоять из чередующихся полуинтервалов одинаковой длины, но разного направления справа и слева. То есть, действительно, там получится стыковка или замкнутых, или открытых маленьких полуинтервалов где-то посередине отрезка, что делает разбиение невозможным. Вроде бы это даже можно формализовать.
Но вот если частей больше?

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
gris в сообщении #1121300 писал(а):
Я уж не говорю о счётном количестве частей
Счётное должно быть неизмеримым (плюс АВ). И если бы существовал какой-нибудь простенький пример такого неизмеримого множества, он явно был бы на слуху.

Кстати, в книге Серпинского был оригинальный пример с явно выписанными тремя подмножествами (разбиением) отрезка $[0;1]$, которые сдвигом без наложения можно было слепить в полуинтервал $[0;1)$. Там эти подмножества не были конгруэнтны, но всё равно любопытно -- решение не настолько интуитивное, чтоб самому с ходу придумать :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 23:13 
Заслуженный участник


20/08/14
6688
Россия, Москва
gris
Так это вопрос не ко мне.
Я опирался лишь на нечётность количества закрытых и открытых концов, при любом числе частей. И эта нечётность сохраняется при добавлении/убавлении частей.

(Подробно)

Концы части могут быть или ЗЗ или ЗО или ОО (Закрыт/Открыт). Требование одинаковости частей и стыкования частей между собой отбрасывает варианты ЗЗ и ОО (т.к. части не равны и О не стыкуется с О, а З с З) оставляя лишь единственный допустимый вариант части ЗО. Т.е. все части должны быть типа ЗО, с одним закрытым концом и одним открытым концом. Но при этом любая последовательность таких частей будет тоже с одним закрытым концом и одним открытым. И никаким присоедиением ещё одной части не превратить конец О в З.
А в исходном отрезке количество закрытых (2шт) и открытых (0шт) концов чётно.
Как они все ориентированы, располагаются и вообще выглядят (и кажется даже связны или нет) - несущественно.

grizzly в сообщении #1121354 писал(а):
решение не настолько интуитивное, чтоб самому сходу придумать
А почему три одинаковых множества $[0;\frac{1}{3}), [\frac{1}{3};\frac{2}{3}), [\frac{2}{3};1)$ не являются решением? Ведь одни в сумме дают ровно требуемое $[0;1)$?
С открытым с одной стороны интервалом проблемы нет, можно делить на сколько угодно равных частей, очень многими способами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение05.05.2016, 23:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
Dmitriy40
Вы где-то точку $\{1\}$ потеряли. (Объединение трёх множеств даёт отрезок, а движениями их можно уложить в полуинтервал.)

-- 05.05.2016, 23:36 --

Подправил формулировку в прошлом сообщении для ясности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение06.05.2016, 00:00 
Заслуженный участник


20/08/14
6688
Россия, Москва
Да не, не потерял, скорее что-то недопонял, ведь речь шла про полуинтервал, а не про отрезок.
А уж если их можно превратить один в другого, то это контрпример для моего рассуждения выше про открытость/закрытость концов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение06.05.2016, 00:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
823
матмех спбгу
Факторизуем отрезок $[0;1]$ по отношению эквивалентности: $x \sim y$ если $x-y \in \mathbb{Q}$. Классы эквивалентности образуют нужное разбиение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение06.05.2016, 00:44 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6176
Dmitriy40 в сообщении #1121375 писал(а):
ведь речь шла про полуинтервал, а не про отрезок.
А уж если их можно превратить один в другого, то это контрпример для моего рассуждения
Да-да, я не очень чётко сформулировал с первой попытки. Но намёк на контрпример Вы поняли правильно.

demolishka в сообщении #1121382 писал(а):
Классы эквивалентности образуют нужное разбиение.
Простите, что Вы считаете нужным разбиением? Не думаю, что множество Витали здесь поможет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение06.05.2016, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/04/14
823
матмех спбгу
grizzly в сообщении #1121402 писал(а):
Простите, что Вы считаете нужным разбиением? Не думаю, что множество Витали здесь поможет.

Да, фигня какая-то получается :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Разбиение отрезка на равные части
Сообщение06.05.2016, 03:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
3665
Москва
Да, задача известная. http://www.jstor.org/stable/1969525 - доказательство (довольно нетривиальное), что на конечное число частей разбить нельзя (и упоминается, что можно разбить на счетное).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 21 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group