Разбиение отрезка на равные части

[gris]

Требуется представить отрезок в виде объединения нескольких не пересекающихся множеств, которые получаются друг из друга сдвигом, либо отражением.
На всякий случай скажу, что ровно на одну часть, или на континуум частей из одной точки мне разбить кое-как удалось .
Скорее всего, задача простая или известная, но мне никак не поддаётся.
Попытки решения.
Начну с разбиения на две части. Если части уравниваются отражением, то разбиение невозможно, ибо середина отрезка должна принадлежать сразу двум частям.
Если равенство частей достигается сдвигом, то обе части должны иметь минимальный и максимальный элемент в составе полуинтервала, и продолжаться как-то в зависимости друг от друга. Тоже должно получаться какое-то противоречие?
Я уж не говорю о счётном количестве частей, или о разбиении шара
Может быть, уже обсуждалось?

[Dmitriy40]

Простите, а это вообще возможно? Ведь при разбиении на части каждая часть должна иметь минимум один открытый конец, при этом два открытых конца вместе не стыкуются (как и два закрытых), значит при любом объединении частей всегда будет минимум один открытый конец. В исходном отрезке же оба конца закрыты. Противоречие.

-- 05.05.2016, 21:17 --

В задаче с разрезанием всё проще: можно договориться что нож удаляет центральную точку (область), оставляя два открытых полуинтервала, сделать которые равными (по отражению) не проблема. Но разрезать можно будет лишь ровно на две части - на три и более останутся части открытые с обоих концов, которые не равны крайним частям исходного отрезка.

[mihiv]

Вроде бы возможно разбиение на 5 частей: три замкнутых промежутка одинаковой длины и два открытых промежутка. С чередованием: ЗОЗОЗ. Или я что-то не так понял?

[Dmitriy40]

В таком варианте возможно и на три части: ЗОЗ. Но по условию все части должны быть равными, т.е. одинаковыми с точностью до сдвигов и поворотов (отражений). А З и О не равны.

[svv]

Dmitriy40
Части не обязаны быть связными. Может, это поможет?

mihiv
Любая часть должна получаться из любой сдвигом и/или отражением.

[Dmitriy40]

svv в сообщении #1121327 писал(а):

Части не обязаны быть связными. Может, это поможет?

Вроде бы нет, не поможет, ведь я основывался лишь на факте открытости/закрытости конца, без требования непрерывности множества.
Но вспоминая парадокс удвоения шара - я уже не уверен, континуум дело такое, сложное.

-- 05.05.2016, 21:39 --

Кстати, похоже используя этот парадокс (точнее аналогичные теоремы относительно плоскости и прямой) можно доказать невозможность желаемого разбиения. Но это уже не в моих силах.

[gris]

Dmitriy40, при разбиении на две части со сдвигом оба конца отрезка не могут принадлежать одной части, то есть обе части обязаны иметь свой минимальный и максимальный элемент. Будет существовать минимальный сдвиг, а тогда каждая часть будет состоять из чередующихся полуинтервалов одинаковой длины, но разного направления справа и слева. То есть, действительно, там получится стыковка или замкнутых, или открытых маленьких полуинтервалов где-то посередине отрезка, что делает разбиение невозможным. Вроде бы это даже можно формализовать.
Но вот если частей больше?

[grizzly]

gris в сообщении #1121300 писал(а):

Я уж не говорю о счётном количестве частей

Счётное должно быть неизмеримым (плюс АВ). И если бы существовал какой-нибудь простенький пример такого неизмеримого множества, он явно был бы на слуху.

Кстати, в книге Серпинского был оригинальный пример с явно выписанными тремя подмножествами (разбиением) отрезка $[0;1]$, которые сдвигом без наложения можно было слепить в полуинтервал $[0;1)$. Там эти подмножества не были конгруэнтны, но всё равно любопытно -- решение не настолько интуитивное, чтоб самому с ходу придумать

[Dmitriy40]

gris
Так это вопрос не ко мне.
Я опирался лишь на нечётность количества закрытых и открытых концов, при любом числе частей. И эта нечётность сохраняется при добавлении/убавлении частей.

(Подробно)

Концы части могут быть или ЗЗ или ЗО или ОО (Закрыт/Открыт). Требование одинаковости частей и стыкования частей между собой отбрасывает варианты ЗЗ и ОО (т.к. части не равны и О не стыкуется с О, а З с З) оставляя лишь единственный допустимый вариант части ЗО. Т.е. все части должны быть типа ЗО, с одним закрытым концом и одним открытым концом. Но при этом любая последовательность таких частей будет тоже с одним закрытым концом и одним открытым. И никаким присоедиением ещё одной части не превратить конец О в З.

А в исходном отрезке количество закрытых (2шт) и открытых (0шт) концов чётно.
Как они все ориентированы, располагаются и вообще выглядят (и кажется даже связны или нет) - несущественно.

grizzly в сообщении #1121354 писал(а):

решение не настолько интуитивное, чтоб самому сходу придумать

А почему три одинаковых множества $[0;\frac{1}{3}), [\frac{1}{3};\frac{2}{3}), [\frac{2}{3};1)$ не являются решением? Ведь одни в сумме дают ровно требуемое $[0;1)$?
С открытым с одной стороны интервалом проблемы нет, можно делить на сколько угодно равных частей, очень многими способами.

[grizzly]

Dmitriy40
Вы где-то точку $\{1\}$ потеряли. (Объединение трёх множеств даёт отрезок, а движениями их можно уложить в полуинтервал.)

-- 05.05.2016, 23:36 --

Подправил формулировку в прошлом сообщении для ясности.

[Dmitriy40]

Да не, не потерял, скорее что-то недопонял, ведь речь шла про полуинтервал, а не про отрезок.
А уж если их можно превратить один в другого, то это контрпример для моего рассуждения выше про открытость/закрытость концов.

[demolishka]

Факторизуем отрезок $[0;1]$ по отношению эквивалентности: $x \sim y$ если $x-y \in \mathbb{Q}$. Классы эквивалентности образуют нужное разбиение.

[grizzly]

Dmitriy40 в сообщении #1121375 писал(а):

ведь речь шла про полуинтервал, а не про отрезок.
А уж если их можно превратить один в другого, то это контрпример для моего рассуждения

Да-да, я не очень чётко сформулировал с первой попытки. Но намёк на контрпример Вы поняли правильно.

demolishka в сообщении #1121382 писал(а):

Классы эквивалентности образуют нужное разбиение.

Простите, что Вы считаете нужным разбиением? Не думаю, что множество Витали здесь поможет.

[demolishka]

grizzly в сообщении #1121402 писал(а):

Простите, что Вы считаете нужным разбиением? Не думаю, что множество Витали здесь поможет.

Да, фигня какая-то получается

[mihaild]

Да, задача известная. http://www.jstor.org/stable/1969525 - доказательство (довольно нетривиальное), что на конечное число частей разбить нельзя (и упоминается, что можно разбить на счетное).