Об истинностных значениях высказываний

[kernel1983]

По мотивам собственных рассуждений...

В классической логике рассматриваются лишь те высказывания, которые либо истинны, либо ложны. Например, такие:

1) Все лошади умеют летать (ложно);
2) Некоторые люди курят (истинно);
3) Американский писатель Марк Твен родился в Лондоне (ложно);
4) Русский писатель Иван Бунин умер в Париже (истинно);
4) Сумма вещественных чисел 2 и 3 равна 5 (истинно).

При образовании всех этих высказываний были использованы непустые имена (как единичные, так и общие) и совместимые с ними признаки.

Возьмём имя "кентавр". Оно общее (мыслится к собирательное имя множества объектов) и пустое (таких объектов в действительности нет). Используем какой-нибудь признак, например, "жить в Африке". Поскольку имя общее, нужно какое-либо кванторное слово. Образуем высказывание "Некоторые кентавры живут в Африке". Оно имеет форму \exists x P(x) \wedge Q(x). Истинно оно или ложно? А его отрицание? Оно звучит так: "Все кентавры не живут в Африке" (Ни один кентавр не живёт в Африке). На этот вопрос ответить ответить нельзя. Это высказывание ни истинно, ни ложно. Поскольку об истинности и ложности можно говорит применительно к осмысленным высказываниям, а приведённое выше высказывание про кентавров (как и его отрицание) смысла не имеет.

Другой пример. Возьмём некоторое непустое имя, например, квадрат (это общее имя). Образуем высказывание "Все квадраты кислые". Оно также не имеет смысла, так как имени приписывается не совместимый с ним признак. Не имеет смысла и его отрицание.

Ещё пример - высказывания о будущих событиях. Рассмотрим высказывание "Если Иван Иванович Иванов доживёт до 2020 года, то летом этого года будет отдыхать на Канарских островах". Оно истинно или ложно? Кстати, если тут взять не материальную импликацию, а импликацию Лукасевича, то высказывание A \to B, где посылка и заключение есть высказывания о будущих событиях (а значит, не истинны и не ложны, а имеют третье истинностное значение), истинно. Как впрочем, и высказывание \overline{B} \to \overline{A}: "Если летом 2020 года Иванов не будет отдыхать на Канарах, то он не доживёт до 2020 года" (очень странное высказывание). Закон контрапозиции в трёхзначной логике Лукасевича выполняется. Впрочем, используя материальную импликацию, можно привести примеры не менее парадоксальных с точки зрения интуиции условных высказываний.

Другой пример - модальные высказывания. Каково значение истинности предложения "Возвожно, на Марсе есть жизнь"? Тут ведь тоже не истина и не ложь, а нечто другое.

Интересно мнение участников форума по поводу написанного выше.

[Sonic86]

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

"Некоторые кентавры живут в Африке". Оно имеет форму \exists x P(x) \wedge Q(x). Истинно оно или ложно?

Ложно.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

А его отрицание?

ложно.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Оно звучит так: "Все кентавры не живут в Африке"

Неверно
Прежде всего, в нормальной алгебре предикатов, а не в исчислении, переменные пробегают некий домен. Я его укажу явно сам - $x$ - животное. Тогда отрицание имеет вид: "Все животные не являются кентаврами или не живут в Африке."

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Поскольку об истинности и ложности можно говорит применительно к осмысленным высказываниям, а приведённое выше высказывание про кентавров (как и его отрицание) смысла не имеет.

А что такое "осмысленное высказывание"?

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Другой пример. Возьмём некоторое непустое имя, например, квадрат (это общее имя). Образуем высказывание "Все квадраты кислые". Оно также не имеет смысла, так как имени приписывается не совместимый с ним признак. Не имеет смысла и его отрицание.

Ну прикольно: истинностное значение предиката не определено. Типа null. Ну бывает. Тогда и истинность утверждения "все квадраты или кислые или некислые" не определена. Впрочем, можно (?) для любого предиката $P$ рассматривать по умолчанию предикат $\bar P$, который истинен там, где истинен $P$, ложен там, где ложен $P$ и ложен там, где $P$ не определен. При переходе от $P$ к $\bar P$ вроде как проблемы исчезают.
Хотя практически это как раз смысла особого не имеет.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Рассмотрим высказывание "Если Иван Иванович Иванов доживёт до 2020 года, то летом этого года будет отдыхать на Канарских островах". Оно истинно или ложно?

Неизвестно. Существуют ли нечетные несовершенные числа - тоже неизвестно. Но истинностное значение есть в обоих случаях.
Про логику Лукасевича ничего не могу сказать.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

"Если летом 2020 года Иванов не будет отдыхать на Канарах, то он не доживёт до 2020 года" (очень странное высказывание).

В обычном языке "если... то..." - двусмысленно - может быть как импликацией, как логически следованием, так и причинной связью (хотя неизвестно, что есть последнее). Так что в смысле импликации высказывание ни разу не странное.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Интересно мнение участников форума по поводу написанного выше.

По-моему, вопроса толком нет. Понятно, что есть разнообразные логические расширения, соотношение между ними и обычной логикой вроде как известно.

[arseniiv]

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

На этот вопрос ответить ответить нельзя. Это высказывание ни истинно, ни ложно. Поскольку об истинности и ложности можно говорит применительно к осмысленным высказываниям, а приведённое выше высказывание про кентавров (как и его отрицание) смысла не имеет.

Логика с вами не согласится.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Рассмотрим высказывание "Если Иван Иванович Иванов доживёт до 2020 года, то летом этого года будет отдыхать на Канарских островах". Оно истинно или ложно?

Зависит от истории. То, что историю в нужной мере вы пока не знаете, не значит, что надо отказывать высказыванию в наличию истинностного значения.

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

Другой пример - модальные высказывания. Каково значение истинности предложения "Возвожно, на Марсе есть жизнь"? Тут ведь тоже не истина и не ложь, а нечто другое.

Ну и почитайте об интерпретациях модальных логик. Узнаете, какие значения сопоставляют там высказваниям.

Кстати, вы тут предполагаете классическую логику. Это тоже не обязательно делать. Есть интуиционистская и куча промежуточных, для которых значения истинности образуют алгебру Гейтинга (Heyting) (булева алгебра тоже ей является, но самой скучной).

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

Прежде всего, в нормальной алгебре предикатов, а не в исчислении, переменные пробегают некий домен. Я его укажу явно сам - $x$ - животное. Тогда отрицание имеет вид: "Все животные не являются кентаврами или не живут в Африке."

Чем это хуже прямолинейного обращения $\neg(\exists x.K\wedge L) \sim \forall x.\neg(K\wedge L)\sim \forall x.\neg K\vee\neg L\sim \forall x.K\to\neg L$. Последнее истинно в силу того, что $K$ всюду ложно. (Всё в нашей скромной модели, хотя мы могли бы принять другую и испортить ТС все примеры.)

Обозначения: $K = {}$ «$x$ — кентавр», $L = {}$ «$x$ живёт в Африке».

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

Ну прикольно: истинностное значение предиката не определено.

На самом деле такого предиката просто нет. Если у нас отношения «(1) — квадрат» и «(1) — кислый» не имеют общей области определения, то мы, конечно, можем их пересечь и получим пустое отношение, а можем запретить себе так делать вовсе. В языках с переменными многих сортов нам придётся указывать у предикатных и функциональных символов, термы какого сорта какими из их аргументов могут и не могут быть. Интерпретируются такие теории алгебраическими системами с несколькими носителями. Хотя процедуру, которую вы описали, действительно никто не мешает проделать; она будет соответствовать простому выкидыванию сортов в языке и для алг. систем объединению всех носителей в один и доопределению всех функций и отношений на этот большой носитель, но не специфическим образом, а как угодно. И если мы составим формулу «$x$ — кислый квадрат», на нашей совести будет то, что в интересующих нас моделях языка она может оказаться истинной или ложной.

[iifat]

kernel1983 в сообщении #1119805 писал(а):

По мотивам собственных рассуждений

Такое чувство, что ТС впервые осознал, что жизнь несколько богаче классической логики. Истинность этого высказывания несомненна, дело за полезными выводами — а вот таковых пока негусто.
Ну и про нечёткие логики, возможно, стоит почитать. Хотя, как по мне, ничего особо нового они не дают.

[kernel1983]

Sonic86, спасибо за Ваше мнение.

Но как же так: высказывание и его отрицание ложны одновременно? Тогда это не то отрицание, что используется в классической логике.

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

Прежде всего, в нормальной алгебре предикатов, а не в исчислении, переменные пробегают некий домен. Я его укажу явно сам - $x$ - животное.

Ну, я согласен. Предикаты $P(x)$ и $Q(x)$ определим на множестве животных: $P(x)$ - $x$ является кентавром, $Q(x)$ - $x$ живёт в Африке. Тогда $\exists x P(x) \wedge Q(x)$ читается: "Найдётся такое животное, что оно является кентавром и живёт в Африке. Отрицание:

$\overline{ \exists x P(x) \wedge Q(x)}$ \simeq \forall x \overline{P(x)} \vee \overline{Q(x)} \simeq \forall x P(x) \to \overline{Q(x)}.

Прочитаем: "Все животные, являющиеся кентаврами, не живут в Африке" (Впрочем, это иная форма написанного Вами).

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

А что такое "осмысленное высказывание"?

Пока затрудняюсь определить. Предположу, что это то, о котором можно судить в категориях истинности-ложности.

А что такое высказывание вообще?
По-моему, если вести речь о неформальной теории (не об исчислении), то это вопрос того же рода, что и об определении множества (можно указать примеры, но определить нельзя).

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

Ну прикольно: истинностное значение предиката не определено.

Именно. И высказывание бессмысленно.

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

Хотя практически это как раз смысла особого не имеет.

Ну, возможно. А всё ли в математике (и логике) имеет практический смысл?

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

Неизвестно. Существуют ли нечетные несовершенные числа - тоже неизвестно. Но истинностное значение есть в обоих случаях.

Именно, что не известно.
А если узнать никогда не получится? Тогда такого рода высказывания придётся исключить из рассуждений?

-- 01.05.2016, 16:19 --

arseniiv в сообщении #1119819 писал(а):

Логика с вами не согласится.

Возможно. Вы можете обосновать ложность или истинность высказывания про кентавров?

arseniiv в сообщении #1119819 писал(а):

То, что историю в нужной мере вы пока не знаете, не значит, что надо отказывать высказыванию в наличию истинностного значения.

Значит, в наших умозаключениях нужно ограничиться тем, что нам известно?

arseniiv в сообщении #1119819 писал(а):

Ну и почитайте об интерпретациях модальных логик. Узнаете, какие значения сопоставляют там высказваниям.

Сейчас читаю. Но семантику Крипке пока не осилил.

iifat в сообщении #1119820 писал(а):

Такое чувство, что ТС впервые осознал, что жизнь несколько богаче классической логики.

Нет, не впервые. Знаю уже давно. Осмыслить пока трудно.

[gefest_md]

Sonic86 в сообщении #1119815 писал(а):

А что такое "осмысленное высказывание"?

Это такое высказывание о предметах, могущих каким-то образом принадлежать одному множеству.

[arseniiv]

iifat
Нечёткая логика — это вообще не сказать чтоб логика. Уж лучше тогда про теорвер — вот он будет корректным «нечётким» (unfortunately, this word is tainted) обобщением логики, в которой сформулирован. Вместо высказываний получаются события, вместо их значений — вероятности, вместо значений термов — случайные величины. (Впрочем, тут могу сейчас наболтать. Но, по крайней мере, и алгоритмы вывода в этой области имеются обоснованные.)

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

Возможно. Вы можете обосновать ложность или истинность высказывания про кентавров?

Ну и обосновал, кстати, уже:

arseniiv в сообщении #1119819 писал(а):

Последнее истинно в силу того, что $K$ всюду ложно.

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

Значит, в наших умозаключениях нужно ограничиться тем, что нам известно?

Заметьте, что ни я, ни, насколько могу судить, Sonic86 ничего подобного не говорили. Нет, не значит. Никто не запрещает манипулировать высказываниями, истинность которых нам не известна. Их вообще подавляющее большинство обычно.

gefest_md в сообщении #1119827 писал(а):

Это такое высказывание о предметах, могущих каким-то образом принадлежать одному множеству.

Выглядит довольно бредово. Во-первых, не фиксирована теория множеств. Во-вторых, обычно можно затолкать в одно множество что угодно. В-третьих, иногда в одно множество нельзя затолкать вполне осмысленную совокупность — ZFC и класс всех ординалов, к примеру.

-- Вс май 01, 2016 18:40:15 --

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

Осмыслить пока трудно.

А чего тут осмысливать. Классическая логика — это в каком-то смысле самая простая логика из полезных. Какой толк с логики с одним значением истинности?

[iifat]

arseniiv в сообщении #1119829 писал(а):

Нечёткая логика — это вообще не сказать чтоб логика

Ну, в общем, потому-то её и называют не логикой, а нечёткой логикой. Она слегка похожа на логику (наличием логических операций), не являясь таковой; она слегка похожа на теорию функций (наличием в ней функций), не являясь таковой; она слегка похожа на теорию вероятностей (э-э-э... Чем бы это? Единичной суммой значений? Ну, пусть будет так), не являясь таковой... Ну, ещё на кучу всяких разных вещей. В математике уйма похожих друг на друга разделов.

[arseniiv]

Не знаю, по мне этот «раздел» — это максимум попытка подложить обоснование под серию прикладных математических трюков. Не очень успешная. При этом некоторые прикладные алгоритмы, которые принято получать таким способом, могут всё же работать правильно в конкретных случаях, конечно. Просто из-за хорошей подгонки. Ну а в других случаях подгонка не удастся, и ничего работать не будет без объяснений почему.

Someone, кажется, говорил, что в нечёткой логике не работает закон непротиворечия. Не знаю, какой должна быть ситуация, принуждающая пользоваться таким аппаратом.

И не имею ничего против подгонок, упрощений и эвристических алгоритмов. Просто когда это всё честно так и зовётся: «Это эвристический алгоритм. Мы не претендуем на наличие обоснований его работы кроме следующих. Это не панацея и работало при таких-то исходных данных.»

-- Вс май 01, 2016 20:27:02 --

Нормальные фреймворки позволяют узнать обоснованность применения себя к той или иной ситуации. Нечто вроде фальсифицируемости естественнонаучных теорий.

[iifat]

arseniiv в сообщении #1119842 писал(а):

попытка подложить обоснование под серию прикладных математических трюков

Ну, так-то раздел как раздел. Если не ждать от него моделирования реальной жизни, как часто по непонятным мне причинам поступают люди.

[Someone]

arseniiv в сообщении #1119842 писал(а):

Someone, кажется, говорил, что в нечёткой логике не работает закон непротиворечия.

Нет, про нечёткую логику я вообще ничего не говорил. Я даже не знал, что такая бывает. Про нечёткую теорию множеств (или теорию нечётких множеств?) краем уха слышал. В основном от специалистов по теории автоматического управления. Да, и когда учился, на семинаре по общей топологии что-то однажды обсуждалось, но я уже не помню, что именно.

[arseniiv]

Тогда я перепутал. Кто-то говорил на этом форуме точно.

[iifat]

Someone в сообщении #1119862 писал(а):

Я даже не знал, что такая бывает

Хм. Что-то я тоже засомневался. Fuzzy logic она называется. Как уж по-русски, не знаю — мож, нечёткая логика, мож, нечёткая теория множеств. Особо не вдавался, так что не уверен.

[arseniiv]

Их и правда две. Правда, не помню, какую на какой основывают. (И первооткрыватель автор у них один.)

[Sonic86]

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

Но как же так: высказывание и его отрицание ложны одновременно? Тогда это не то отрицание, что используется в классической логике.

А это не отрицание, это внесение частицы "не" внутрь высказывания от балды. На естественном языке правильнее было бы сказать "Неверно, что все кентавры живут в Африке".

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

А что такое высказывание вообще?

Считаем, что мы знаем ответ на этот вопрос

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

Ну, возможно. А всё ли в математике (и логике) имеет практический смысл?

Я немного неправильно выразился. Я хотел сказать, что по-моему, это не имеет особого теоретического и практического смысла.

kernel1983 в сообщении #1119821 писал(а):

А если узнать никогда не получится? Тогда такого рода высказывания придётся исключить из рассуждений?

Ни в коем случае. Вон и гипотезы Римана делают всякие следствия, полезные народному хозяйству.