Внешний дифференциал дифференциальной формы

[Hasek]

Помогите доказать исходя из определения внешнего дифференциала, что если локально $\omega |_U = \sum\limits_{\sigma \in S_k} a_\sigma dx^{\sigma_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\sigma_k}, ~a_\sigma \in F(U)$, то $(d\omega)|_U = \sum\limits_{\sigma \in S_k} da_\sigma \wedge dx^{\sigma_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\sigma_k}$.

Определение внешнего дифференциала такое: $(d\omega)(X_1, \ldots, X_{k+1}) = \sum\limits_{i=1}^{k+1} (-1)^{i+1} X_i(\omega(X_1,\ldots,\hat X_i,\ldots,X_{k+1})) + \sum\limits_{i<j}(-1)^{i+j}\omega([X_i,X_j],X_1,\ldots,\hat X_i, \ldots\\ \ldots, X_j,\ldots,X_{k+1})$.

Пробую подставлять: $d\omega = \sum\limits_{i=1}^{k+1} (-1)^{i+1} a_i dx^i \sum\limits_{\sigma \in S_{k-1}} a_\sigma dx^1 \wedge \ldots \wedge dx^{k-1} +\\ + \sum\limits_{i<j}(-1)^{i+j} [a_i dx^i, a_j dx^j] \wedge a_1 dx^1 \wedge \ldots \wedge a_{k+1} dx^{k+1}$.

Кажется я запутался и что-то делаю не так.

[Slav-27]

Происхождение сией конструкцыи:

Hasek в сообщении #1119060 писал(а):

$d\omega = \sum\limits_{i=1}^{k+1} (-1)^{i+1} a_i dx^i \sum\limits_{\sigma \in S_{k-1}} a_\sigma dx^1 \wedge \ldots \wedge dx^{k-1} +\dots$

-- совершенно мне непонятно.

В определении не хватает ещё одной шляпки.

Попробуйте сначала разобраться с 1-формами и расписать $d\omega(X, Y)$ по вашему определению: там по сути то же самое, что и с формами большей валентности, только сложнее запутаться. (И не пишите дифференциалы, загружайте сразу векторы.)

Вы не в обозначениях ли запутались? Вы понимаете, что ваше $X_i(\omega(X_1,\ldots,\hat X_i,\ldots,X_{k+1}))$ -- это дифференцирование?

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1119086 писал(а):

В определении не хватает ещё одной шляпки.

Да, действительно упустил, во втором слагаемом должно быть $\hat X_j$. У формы ведь должно быть $k$ аргументов.

Slav-27 в сообщении #1119086 писал(а):

Попробуйте сначала разобраться с 1-формами и расписать $d\omega(X, Y)$ по вашему определению: там по сути то же самое, что и с формами большей валентности, только сложнее запутаться. (И не пишите дифференциалы, загружайте сразу векторы.)

$d\omega(X,Y) = X\omega(Y) - Y\omega(X) - \omega(XY-YX)$
С этим разобрался. Теперь запишем векторные поля в координатах: $X = X_i \partial_i, ~Y = Y_j \partial_j$. Проблема, видимо, очень глупая, но я не понимаю, как такую запись подставить в получившееся выражение?

Slav-27 в сообщении #1119086 писал(а):

Вы не в обозначениях ли запутались? Вы понимаете, что ваше $X_i(\omega(X_1,\ldots,\hat X_i,\ldots,X_{k+1}))$ -- это дифференцирование?

И в этом тоже... Только сейчас понял.

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1119112 писал(а):

$d\omega(X,Y) = X\omega(Y) - Y\omega(X) - \omega(XY-YX)$

Должно быть $\partial_X\omega(Y) - \partial_Y\omega(X) - \omega([X,Y]).$ (Или в ваших обозначениях -- но мне они не нравятся -- $X(\omega(Y)) - Y(\omega(X)) - \omega([X,Y]).$ )

Что вы обозначаете через $XY-YX$, я не знаю, но обычно коммутатор векторных полей записывают не так.

(Оффтоп)

Hasek в сообщении #1119112 писал(а):

Теперь запишем векторные поля в координатах: $X = X_i \partial_i, ~Y = Y_j \partial_j$

Давайте $X^i\partial_i,$ или даже лучше $X^i e_i,$ потому что зачем тут вспоминать, что касательное пространство естественно изоморфно своему дважды сопряженному?

Hasek в сообщении #1119112 писал(а):

я не понимаю, как такую запись подставить в получившееся выражение?

Похоже, вы саму запись не понимаете. Вы хорошо помните, что такое производная скалярной функции вдоль векторного поля и что такое коммутатор векторных полей? И как он через компоненты расписывается?

[Hasek]

Цитата:

Похоже, вы саму запись не понимаете.

Давайте проверим, я путаюсь, но правда хочу разобраться. $X = X^i e_i$, здесь $X^i$ -- это конкретная координата, то есть просто число, $e_i$ -- вектор. По повторяющимся индексам суммирование.

Производная скалярной функции вдоль векторного поля -- это ведь просто производная по направлению, да?

Цитата:

Что такое коммутатор векторных полей? И как он через компоненты расписывается?

$[X,Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$
Если не ошибаюсь, то вот так в координатах: $[X,Y] = (X^i e_i Y^j - Y^i e_i X^j) e_j$.

[Slav-27]

Ещё раз предлагаю различать векторное поле $X$ и оператор производной вдоль него $\partial_X.$ Конечно, каждому хорошему векторному полю соответствует точно один такой оператор, поэтому можно думать про поле как про оператор. Однако покамест я предлагаю для ясности этого не делать.

На всякий случай напомню, что $X$ -- это сечение касательного расслоения вашей области $U,$ а $\partial_X$ -- это оператор, действующий на скалярные функции на $U.$ Форма кушает вектор и даёт скаляр. Оператор кушает скалярную функцию на $U$ (скаляр) и даёт другую скалярную функцию на $U.$

Hasek в сообщении #1119139 писал(а):

Производная скалярной функции вдоль векторного поля -- это ведь просто производная по направлению, да?

Как-то так, только направление в разных точках области разное.

Hasek в сообщении #1119139 писал(а):

$[X,Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$

Вот здесь имеются в виду операторы, то есть что $[\partial_X,\partial_Y] = \partial_X\partial_Y - \partial_Y\partial_X.$ Это просто обычный коммутатор операторов. Несложно понять, что оператор $[\partial_X,\partial_Y]$ тоже является оператором производной вдоль некоторого векторного поля (это дифференциальный оператор первого, а не второго порядка, хотя не сразу это заметно!): это-то поле и обозначается $[X,Y].$

Hasek в сообщении #1119139 писал(а):

$[X,Y] = (X^i e_i Y^j - Y^i e_i X^j) e_j$.

А вот здесь как раз операторы, а не векторы :) Поэтому $[X,Y]^j=X^i\partial_i Y^j - Y^i\partial_i X^j.$ Здесь $\partial_i g\equiv\partial_{e_i} g\equiv\dfrac{\partial g}{\partial x^i}$ -- это просто частная производная.

Теперь распишите ещё через компоненты $\partial_X f,$ где $f$ -- скалярная функция, а потом загружайте это всё в формулу $d\omega(X,Y)=\partial_X\omega(Y) - \partial_Y\omega(X) - \omega([X,Y]).$

[Hasek]

Прощу прощения за долгий ответ...

Если я правильно понимаю смысл $\partial_X f$, то это сумма производных по направлению каждого вектора из поля $X$. Тогда получается $d\omega(X,Y) = \sum\limits_{i} \partial_{e_i}\omega(Y^je_j) - \sum\limits_{j} \partial_{e_j}\omega(X^ie_i) - \omega((X^ie_iY^j - Y^ie_iX^j)e_j)$. Координаты из-под операторов можно вынести. Это правильно?

-- 30.04.2016, 22:32 --

$\partial_X f$ -- это ведь не производная Ли, правильно?

[Slav-27]

Мне всё страннее с вами разговаривать, поэтому объясните, пожалуйста, вот что.

Помните, я вас спросил, что такое коммутатор векторных полей, и вы свободно написали формулу

Hasek в сообщении #1119139 писал(а):

$[X,Y]f = X(Yf) - Y(Xf)$

Здесь $X$ и $Y$ были векторные поля, определённые на области $U,$ а $f,$ насколько я понял, скалярное поле на ней же.

Что означает, по-вашему, эта запись? В частности, что такое $Yf$? Умножение вектора на скаляр? А тогда что такое $X(Yf)$?

Если это не умножение, то при объяснении обратите внимание, что векторное поле не может само собой действовать на скаляры, поскольку оно не является функцией, область определения которой включала бы скалярные поля на $U$.

В предыдущем посте у вас мало правильного. Производные Ли тут поминать незачем.
Там вы, кстати, написали такие же вещи.

Hasek в сообщении #1119623 писал(а):

$\omega((X^ie_iY^j - Y^ie_iX^j)e_j)$

Что такое $X^ie_iY^j$? Произведение вектора $X^ie_i$ на число $Y^j$? А как его на $e_j$ потом умножать, это скалярное произведение что ли?

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1119649 писал(а):

Что означает, по-вашему, эта запись? В частности, что такое $Yf$? Умножение вектора на скаляр? А тогда что такое $X(Yf)$?

Это дифференцирование -- то есть здесь вместо $Y$ подразумевается $\partial_Y$. И, соответственно, $\partial_X \partial_Y f$. Вы сами акцентировали на этом внимание и подробно объяснили в предыдущих сообщениях. Но я как-то плохо представляю производную по векторному полю в каком-то конкретном случае. Вот просто производную по направлению (вектору) знаю. А производная по векторному полю -- это, видимо, производная по вектору этого поля в зависимости от конкретной точки. Так?

Slav-27 в сообщении #1119649 писал(а):

Что такое $X^ie_iY^j$? Произведение вектора $X^ie_i$ на число $Y^j$? А как его на $e_j$ потом умножать, это скалярное произведение что ли?

Аргументом формы должен быть вектор, поэтому я понимал действительно как произведение вектора $X^ie_i$ на число $Y^j$ и последующее векторное произведение на $e_j$.

-- 01.05.2016, 00:03 --

То есть $\partial_X f$ в компонентах я понимаю как $\frac{\partial f}{\partial e_i}(x)$, где $e_i$ -- вектор из $X$ в точке $x$. Просто как частную производную по соответствующему вектору. Тогда суммы не нужны, это я неправильно их навесил.

-- 01.05.2016, 00:13 --

Окончательная редакция теперь такая: $d\omega(X,Y) = \partial_{e_i}\omega(Y^je_j) - \partial_{e_j}\omega(X^ie_i) - \omega(X^i\partial_{e_i}Y^j - Y^i\partial_{e_i}X^j)$.

[Slav-27]

Hasek в сообщении #1119658 писал(а):

А производная по векторному полю -- это, видимо, производная по вектору этого поля в зависимости от конкретной точки. Так?

Неужели так сложно взять учебник и найти нормальное определение? Я же вас уже почти целую страницу прошу понять, что это такое.

Да, примерно так. Производная вдоль векторного поля -- это оператор, действующий на скалярные функции и возвращающий по скалярной функции $f(x)$ новую функцию $g(x),$ которая обозначается $\partial_X f (x)$; $x$ здесь обозначает точку области $(x^1, x^2, \dots, x^n).$ Значение этой функции $g(x)$ в конкретной точке $x_0$ есть производная функции $f$ по направлению $X(x_0)$: $g(x_0)=df(x_0)\cdot X(x_0)=X^i\dfrac{\partial f}{\partial x^i}.$ (Точка посередине строки $\cdot$ там означает свёртку; аргумент $x_0$ я в последней части равенства не стал писать.)

Иначе можно сказать, что в каждой точке $x_0$ функцию $f$ ограничивают на проходящую через $x_0$ интегральную кривую $x(s)=(x^1(s), \dots, x^n(s))$ векторного поля $X,$ где $s$ -- параметр (интегральная кривая -- это такая кривая, которая в каждой своей точке $x(s)$ касается находящегося там вектора $X(x(s));$ локально такая кривая для гладкого векторного поля существует и единственна, смотрите подробности в учебнике) -- итак, $f$ ограничивают на такую кривую (получая функцию $f(x(s))$ одной вещественной переменной $s$), а потом считают её производную по $s$ при значении параметра $s_0,$ соответствующем точке $x_0$: $x(s_0)=x_0$ (можно всегда выбирать такую параметризацию, чтобы $s_0=0$, это без разницы). Несложно проверить, что получается то же самое, что и выше.

Hasek в сообщении #1119658 писал(а):

Аргументом формы должен быть вектор, поэтому я понимал действительно как произведение вектора $X^ie_i$ на число $Y^j$ и последующее векторное произведение на $e_j$.

Вот оно что! Я-то думал, как это вы скаляром собираетесь форму кормить -- а вы векторное произведение взяли! И что такое векторное произведение 2 векторов в $n$-мерном пространстве? (Если вы не поняли, это всё бред.)

Hasek в сообщении #1119658 писал(а):

То есть $\partial_X f$ в компонентах я понимаю как $\frac{\partial f}{\partial e_i}(x)$, где $e_i$ -- вектор из $X$ в точке $x$.

Вектор из $X$ в точке $x$ обычно обозначают $X(x),$ а не $e_i.$ Через $e_i$ обычно обозначают векторы базиса касательного пространства в какой-нибудь конкретной точке, так что $X(x)=X^i(x)e_i$ (по $i$ подразумевается суммирование, то есть суммируются произведения базисных векторов $e_i$ на соответствующие компоненты $X^i(x),$ которые и задают поле).

Hasek в сообщении #1119658 писал(а):

Окончательная редакция теперь такая: $d\omega(X,Y) = \partial_{e_i}\omega(Y^je_j) - \partial_{e_j}\omega(X^ie_i) - \omega(X^i\partial_{e_i}Y^j - Y^i\partial_{e_i}X^j)$.

Уже почти нет, показалось, по-прежнему бредовато. Советую при переходе от инвариантной записи к компонентам не обозначать производные иначе как $\dfrac{\partial k}{\partial x^i},$ где $k$ -- это то, что дифференцируется.

В качестве упражнения предлагаю доказать, что коммутатор $[\partial_X,\partial_Y]$ есть дифференциальный оператор 1-го порядка, и доказать правильность вашего выражения для $[X,Y]^j.$ Для этого расписывайте в коммутаторе $\partial_X$ и $\partial_Y$ через компоненты по формулам, которые я записал выше, и покажите, что вторые производные от $f$ исчезнут. В случае удаче вы заодно поймёте наконец смысл всего этого.

[Hasek]

Slav-27 в сообщении #1119780 писал(а):

В качестве упражнения предлагаю доказать, что коммутатор $[\partial_X,\partial_Y]$ есть дифференциальный оператор 1-го порядка, и доказать правильность вашего выражения для $[X,Y]^j.$ Для этого расписывайте в коммутаторе $\partial_X$ и $\partial_Y$ через компоненты по формулам, которые я записал выше, и покажите, что вторые производные от $f$ исчезнут. В случае удаче вы заодно поймёте наконец смысл всего этого.

Извините, пожалуйста, меня за тупость, но вот я опять что-то делаю не так (пользуюсь определением коммутатора и правилом Лейбница):
$[\partial_X, \partial_Y] f = \partial_X(\partial_Y f) - \partial_Y(\partial_X f) = \frac{\partial^2}{\partial x^i \partial y^j} f + \frac{\partial}{\partial y^j} X^i \frac{\partial f}{\partial x^i} - \frac{\partial^2}{\partial y^j \partial x^i} f - \frac{\partial}{\partial x^i} Y^j \frac{\partial f}{\partial y^j}$
Почему здесь в принципе появятся первые производные? Ведь либо сразу один дифференциальный оператор действует на другой и получаем дифференциальный оператор второго порядка, либо же оператор действует на результат другого дифференцирования?

[Slav-27]

Да вы издеваетесь что ли?

Откуда тут ещё какие-то $y^j$ полезли? $x=(x^1, \dots, x^n)$ -- это координаты в области $U$; скалярное поле $f$ таким образом представляет собою функцию $f(x)=f(x^1, \dots, x^n)$: каждой точке области (имеющей координаты $x^1, \dots, x^n$) соответствует вещественное число -- значение поля в этой точке. У этой функции можно считать частные производные по координатам: $\dfrac{\partial f(x^1,x^2,x^3,\dots)}{\partial x^1},\,\dfrac{\partial f(x^1,x^2,x^3,\dots)}{\partial x^2},\,\dots.$

Векторное поле $A$ -- почти то же самое, только точке $(x^1, x^2, \dots, x^n)$ соответствует не одно число $f(x^1,x^2,\dots, x^n),$ а целых $n$ чисел: $A^1(x^1, x^2, \dots, x^n),\,A^2(x^1, x^2, \dots, x^n),\dots A^n(x^1, x^2, \dots, x^n).$

Какие тут ещё $y^j$?

Hasek в сообщении #1120035 писал(а):

$[\partial_X, \partial_Y] f = \partial_X(\partial_Y f) - \partial_Y(\partial_X f) = \frac{\partial^2}{\partial x^i \partial y^j} f + \frac{\partial}{\partial y^j} X^i \frac{\partial f}{\partial x^i} - \frac{\partial^2}{\partial y^j \partial x^i} f - \frac{\partial}{\partial x^i} Y^j \frac{\partial f}{\partial y^j}$

Это что за бардак? Почему в левой части равенства у вас ни одного свободного индекса, а в правой во втором члене один, а в первом аж два?

Hasek в сообщении #1120035 писал(а):

либо сразу один дифференциальный оператор действует на другой и получаем дифференциальный оператор второго порядка

Да не действует оператор на оператор. И на популяцию пингвинов в Исландии он тоже не действует. Оператор действует на скалярные поля! Как он на них действует, я вам уже целую страницу про это написал. Если 2 оператора написаны подряд, то это композиция операторов: сначала действует внутренний, а потом на получившуюся скалярную функцию (!) внешний.


Вот зачем я сюда ввязался...

-- 02.05.2016, 13:45 --

Пожалуйста, пишите то, от чего считается частная производная, в числителе соответствующей дроби: $\dfrac{\partial k}{\partial x^1}$ и т. д.

[Hasek]

$[\partial_X, \partial_Y] f = \partial_X (Y^i \frac{\partial f}{\partial x^i}) - \partial_Y (X^i \frac{\partial f}{\partial x^i}) = X^i \frac{\partial f}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$

$\partial_X f = X^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$, когда на скалярное поле, получившееся после дифференцирования по $X$, действует $\partial_Y$, то этот оператор просто пересчитывает координаты в соответствии с полем $Y$. Аналогично и наоборот.

[Slav-27]

Опять неправильно, и непонятно, откуда взялось. (Я про 2-е равенство в 1-й строчке.)

Hasek в сообщении #1120274 писал(а):

этот оператор просто пересчитывает координаты в соответствии с полем $Y$.

Вместо туманных фраз расписали бы лучше всё по формулам, они уже все есть, какие надо.

Обозначьте вот $\partial_Y f$ через $g$ (пусть это будет только такое обозначение) (это ведь скалярная функция, так?), напишите выражение в компонентах для $\partial_Y f,$ напишите выражение в компонентах для $\partial_X g,$ не подставляя пока туда выражение для $g,$ а затем подставьте во второе из получившихся выражений компонентное выражение для $g$ (то есть первое получившееся выражение).

[Hasek]

$\partial_Y f = Y^i \frac{\partial f}{\partial x^i}$

$\partial_X g = X^i \frac{\partial g}{\partial x^i}$

$\partial_X g = \partial_X \circ \partial_Y f = X^i \frac{\partial (Y^i \frac{\partial f}{\partial x^i})}{\partial x^i} = X^i \frac{\partial Y^i}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^i} + X^i Y^i \frac{\partial^2 f}{\partial (x^i)^2}$

$\partial_Y \circ \partial_X f = Y^i \frac{\partial (X^i \frac{\partial f}{\partial x^i})}{\partial x^i} = Y^i \frac{\partial X^i}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^i} + Y^i X^i \frac{\partial^2 f}{\partial (x^i)^2}$

$[\partial_X, \partial_Y] f = X^i \frac{\partial Y^i}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^i}{\partial x^i} \frac{\partial f}{\partial x^i}$