Внешний дифференциал дифференциальной формы

[svv]

Обратил внимание на ошибку в условии.

Hasek в сообщении #1119060 писал(а):

$\omega |_U = \sum\limits_{\sigma \in S_k} a_\sigma dx^{\sigma_1} \wedge \ldots \wedge dx^{\sigma_k}$

Если $\sigma$ — перестановка чисел $1,\ldots,k$, то при $k<n$ ни один индекс не сможет принять значения $k+1, \ldots,n$.

Если $\sigma$ — перестановка индексов $i_1,\ldots,i_k$, то незачем помимо «эйнштейновского» суммирования суммировать ещё по всем перестановкам индексов: достаточно одной перестановки. И потом, запись $\sigma_1$ ещё можно понять как $\sigma(1)$, но вряд ли как $\sigma(i_1)$.

Вот пара правильных вариантов:
$\begin{array}{l}\omega=\sum\limits_{1\leqslant i_1<...<i_k\leqslant n}a_{i_1...i_k}\;dx^{i_1}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}\\[2.5ex]\omega=\frac 1{k!}\;a_{i_1...i_k}\;dx^{i_1}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}\end{array}$