Помогите вычислить интеграл. Maple и Matematica не совпадают

[hidden swosd]

Помогите вычислить интеграл (есть подозрение, что это ноль)
$\int_0^{2\pi}\ln(1-\cos(\alpha)) d\alpha$ Maple17 дает
ответ:$-2\pi\ln(2)$; Wolfram Matematica 9.0 дает ответ:
$2\ln(\pi)$, то есть даже в знаке не совпадают.

[Otta]

При такой разнице в ответах единственная гипотеза - где-то Вы неправильно вводите.

Решается наподобие topic44728.html
Немножко тригонометрии, немножко еще предварительной подготовки типа соображений периодичности и проч. и будет нечто вроде.

[ewert]

Ответ мэйпла правильный, вольфрама же -- даже и не правдоподобный.

(проверял в матлабе численно; на бумажке -- получалось примерно так же, но где-то в два раза ошибся, а перепроверять лень)

[arseniiv]

Mathematica 8:

In>  Integrate[Log[1 - Cos[x]], {x, 0, 2 Pi}]
Out> -Pi Log[4]

Т. е. ответ совпадает с первым. Действительно, покажите, что вводили.

[Red_Herring]

Ну и совсем простое соображение: интеграл равен ( см совет Otta)

$$\int _0^\pi \bigl[\ln (1-\cos (\alpha)) + \ln (1+\cos (\alpha))\bigr]\,d\alpha= 2\int_0^\pi \ln \sin(\alpha)\,d\alpha$$

заведомо отрицательный.

[ewert]

Red_Herring в сообщении #1118522 писал(а):

интеграл равен ( см совет Otta)

$$\int _0^\pi \bigl[\ln (1-\cos (\alpha)) + \ln (1-\cos (\alpha))\bigr]\,d\alpha= 2\int_0^\pi \ln \sin(\alpha)\,d\alpha$$

Один знак слева перепутан.

[Red_Herring]

ewert в сообщении #1118527 писал(а):

Один знак слева перепутан.

Исправил. Тогда получаем
\begin{multline*}I:= \int_0^\pi \ln (\sin (\alpha)\,d\alpha= 2\int _0^{\pi/2} \ln \sin (\alpha)\,d\alpha = 2\int _0^{\pi/2} \ln \cos (\alpha)\,d\alpha = \int _0^{\pi/2} \ln (\sin (\alpha) \cos (\alpha))\,d\alpha \\ = \int _0^{\pi/2} [\sin(2\alpha)-\ln 2]\,d\alpha = I/2-\pi \ln(2) /2 \implies I=-\pi \ln 2.\end{multline*}

[ewert]

Я получал немного иначе, более в лоб:

$$I=\int\limits_0^{2\pi}\ln2\sin^2\frac{x}2\,dx=\int\limits_0^{2\pi}\ln2\cos^2\frac{x}2\,dx=\frac12\int\limits_0^{2\pi}\ln\left(2\sin^2\frac{x}2\cdot2\cos^2\frac{x}2\right)\,dx=$$

$$=\frac12\int\limits_0^{2\pi}\ln\sin^2x\,dx=\frac12\int\limits_0^{2\pi}\ln2\sin^2x\,dx-\frac12\int\limits_0^{2\pi}2\,dx=\frac12I-\pi\ln2$$