2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Функция Эйлера и бесквадратные числа
Сообщение21.12.2007, 17:20 
Аватара пользователя
Можно ли утверждать, что $$\sum_{\substack{q^2|\phi(n) \\  \mu^2(n)=1 \\  n\le x }} 1= \sum_{\substack{p_1\equiv p_2 \equiv1 ~(q) \\ p_1,p_2|n \\ \mu^2(n)=1 \\ n\le x }}1 \asymp x \sum_{\substack{p_1\equiv p_2 \equiv1 ~(m)\\ p_1\ne p_2 \\ p_1,p_2\le x}} {1\over p_1p_2} =x \Bigl(\sum_{\substack{p \equiv1 ~(m) \\ p\le x}} {1\over p}\Bigr)^2 \asymp {x(\log\log x)^2\over q^2}$$?

Или вместо $\asymp$ должно стоять $\ll$?

 
 
 
 
Сообщение22.12.2007, 00:42 
Аватара пользователя
Что такое здесь $p, q$ и $n$ ? Числа $p$ и $q$ - простые? Если так, то это равенство неверно:
$$\sum_{\substack{q^2|\phi(n) \\ \mu^2(n)=1 \\ n\le x }} 1= \sum_{\substack{p_1\equiv p_2 \equiv1 ~(q) \\ p_1,p_2|n \\ \mu^2(n)=1 \\ n\le x }}1$$
Например, первой сумме может быть слагаемое с $p|n$ и $p\equiv 1\pmod{q^2}$, в то время как во второй сумме ему же будут соответствовать несколько слагаемых с $p_1=p$ и $p_2\equiv 1\pmod{q}$.

Далее, это равенство также неверно:
$$x \sum_{\substack{p_1\equiv p_2 \equiv1 ~(m)\\ p_1\ne p_2 \\ p_1,p_2\le x}} {1\over p_1p_2} =x \Bigl(\sum_{\substack{p \equiv1 ~(m) \\ p\le x}} {1\over p}\Bigr)^2$$

Наконец, почему здесь в знаменателе стоит $q^2$ ?
$${x(\log\log x)^2\over q^2}$$

 
 
 [ Сообщений: 2 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group