Вопрос по процессу замедления света в среде

[RIV1207]

Прошу помочь разобраться с физикой процесса замедления света в среде. Эту тему я пытался обсудить в дискуссионном форуме, но получил ответ, что считать себя умнее других глупо, плюс, меня "потоптали" за то, что я Фейнмана назвал Фейманом. Еще повезло, не заметили, что я Лейбница я назвал Густавом...
Но очень хочется получить ответ по сути, поэтому я убрап все, что относится к обсуждению, и конкретизировал вопрос. В сооветствии с правилом форума, вопрос не выходит за рамки стандартных учебных курсов Фейнмана и Сивухина иее являтся повторением дискуссионной темы.
По Фейнману, основная формула, описывающая процесс замедления скорости света тонким слоем среды выглядит так:
$E_p=E_0\exp(i\omega(t-z/c))-i\omega(n-1)\triangle z/cE_0\exp(i\omega(t-z/c))$ (1)
где:
$E_p$ - волна за тонкой пластиной (за тонким слоем среды);
$n$ - показатель преломления среды.
Первое слагаемое в этом выражении есть поле источника, второе - поле, создаваемое осциллирующими зарядами тонкого слоя среды.
Это выражение было получено с использованием замены $E_s=E_0\cos(\omega(t-z/c))$
на: $E_s=E_0\exp(i\omega(t-z/c))$
Но если использовать полную формулу Эйлера, то вместо выражения 1 можно получить
$E_p=E_0\cos(\omega(t-z/c))+E_0\omega(n-1)\triangle z/c\sin(\omega(t-z/c))$ (2)
Вывод выражения (2) в дискуссионном форуме никто не оспаривал, поэтому, чтобы дальше не задаваться вопросами, а должны ли мы видеть свет с мнимой амплитудой волны и должны ли подобные волны влиять на осцилирующие заряды, предлагаю использовать его.

Интересующий меня вопрос очень прост, как из формулы для тонкого слоя среды получить выражения для толстого слоя.
Крайне удивительно, но ни у Фейнмана, ни у Сивухина такого вывода нет. Мне остается только рассматривать варианты, которые увидел сам. Сразу скажу, получить требуемое запаздывание мне не удалось. Если есть другие, правильные варианты, очень хочется узнать о них.
Принципиально важно, что приведенные выше формулы (1) и (2) применимы только для рассмотрения суперпозиции волн в дальней зоне. Фейнман пишет, что мы не знаем точных формул для поля в ближней зоне, к тому же, для ближней зоны надо учитывать разность фаз излучений осцилирующих зарядов одного слоя. Для ближней зоны будут применимы другие, отличные от (1) и (2) формулы, а т.к. эти формулы выведены из вопроса, каким должен быть процесс приводящий к запаздыванию волны, то можно сделать вывод, что на следующий тонкий слой поступает некий набор волн, который является чем угодно, но только не волной источника, "задержавшейся" на первом тонком слое.
К тому же, по этим формулам мы не можем учесть влияние на осцилирующий заряд полей других осцилирующий зарядов. Как было сказано выше, для этого надо рассматривать процессы в ближней зоне.
По моему, остается только рассмотреть варианты регистрации наблюдателем в дальней зоне суммы волны источника и волн зарядов толстого слоя среды, которые осцилируют под действием волны источника.
Здесь сразу напрашивается вариант:
$E_l=E_i+E_0(n-1)(\omega/c)\int\limits_{0}^{z_l}\sin(\omega(t-z/c))dz$ (3)
где:
$E_l$ - волна за "толстой" пластиной (за толстым слоем среды);
$E_i=E_0\cos(\omega(t-z/c))$ - поле источника
$z_l$ - длина слоя среды в направлении распространения волны;
Причем, подобный переход использовался Фейнманом для обоснования формулы (1) (см. выражения 30.11 и 30 12).
Я, как сумею, побытаюсь объяснить, почему считаю, что в нашем случае такое интегрирование не корректно.
Согласно определению интеграла для выражения (3) мы имеем:
$E_l=E_i+E_0(n-1)(\omega/c)\sum\limits_{k=0}^{z_l/\triangle z} \sin(\omega(t-k\triangle z/c))\triangle z$ (4)
при $\trianglez\to0$
Но поля всех тонких слоев, складываются в одной фазе, что соответствует:
$E_l=E_i+E_0(n-1)(\omega/c)\sum\limits_{k=0}^{z_l/\triangle z} \sin(\omega(t-z/c))\triangle z=$
$=E_i+E_0(n-1)(\omega/c)\sin(\omega(t-z/c))\sum\limits_{k=0}^{z_l/\triangle z} \triangle z$ (5)
В конце то концов, если мы суммируем два волновых процесса с одинаковой частотой и в одной фазе(!), складываются амплитуды волн, что принципиально меняется, если число таких суммируемых волн стремится к бесконечности?

Поэтому, предлагается следующий подход к суммированию.
Волновой процесс вида
$E_p=E_0\cos(\omega(t-z/c))$
будет фиксироваться наблюдателем в дальней зоне, как следующий колебательный процесс:
$E_n=E_0\cos(\omega(t-z_0/c))$
где $z_0$ - координата наблюдателя.
Тогда за толстым слоем среды наблютатель будет регистрировать:

$E_l=E_i+E_0(n-1)(\omega/c)\int\limits_{0}^{z_l}\sin(\omega(t-z_0/c))dz=$
$=E_i+E_0(n-1)(\omega/c)z_l \sin(\omega(t-z_0/c))=$
$=E_0\cos(\omega(t-z_0/c))+E_0(n-1)z_l(2\pi/\lambda)\sin(\omega(t-z_0/c))$ (6)

Полученное выражение не может объяснить запаздывания волны более чем на одну длину волны. Если не прав, и такое объяснение есть, хотелось бы узнать о нем.
Кроме того, обратите внимание на соотнешение $z_l/(2\pi/\lambda)$.
Предположим, грубо, что длина волны света 0,5 мкм., показатель преломления стекла 1,5, а его толщина 2 мм., тогда для для наблюдателя в направлении аммплитуда волны в направлении от источника будет в 10 000 раз больше амплитуды волны самого источника!
Если рассматривать осцилирующий заряд как точечный диполь Герца, то не трудно получить, стекло будет светиться во всех направлениях.
Я уже писал выше, рассмотренные варианты суммирования результата не дали.
Мне остается только повторить еще и свой вопрос, как найти правильный вариант объяснения запаздывания света на толстом слое среды.

[se-sss]

Я как раз недавно эту главу читал.
Мне кажется, что формула (1) слишком упрощает явление, чтобы из неё корректно восстановить случай толстого стекла.
Она умеет поворачивать комплексную амплитуду на малый угол за счёт изменения мнимой части, но реализовать вращение уже не способна. Для этого ей надо уметь изменять действительную компоненту.

Но нам и не надо из неё восстанавливать. Мы уже прекрасно знаем ответ для толстого стекла, выраженный через экспериментально определённый коэффициент преломления $n$: нам кажется, что свет замедлился в стекле в $n$ раз.
Зато, взяв тонкое стекло и сделав серьёзное упрощение, мы получили связь $n$ с атомами и электронами.

[AnatolyBa]

RIV1207
Мне кажется вы тратите слишком много сил на борьбу с комплексными числами. Примите их как удобный метод, а потом, когда разберетесь в сути дела, можете посмотреть, как обойтись без них.
Между Сивухиным и Фейнманом в данном случае я бы предпочел Сивухина, по моему он подробнее объясняет, попробуйте разобраться.
Далее, ваша формула (1) ((31.8 у Фейнмана) это не начало рассуждения, а конец, результат. Фейнман выводит ее (формально) из (31.5). А вот откуда он берет (31.5)? Фактически он постулирует ее исходя из уже известного факта замедления света в среде. (Кстати, (31.5) записана не для тонкой пластины, а для пластины произвольной толщины - то что вы хотите вывести) Т. е. здесь, в этом парагграфе, Фейнман не выводит замедление из первых принципов, а берет его за исходный факт и поясняет происхождение. Далее, в следующих параграфах, он исследует это подробнее.

[RIV1207]

se-sss в сообщении #1116283 писал(а):

Я как раз недавно эту главу читал.
Мне кажется, что формула (1) слишком упрощает явление, чтобы из неё корректно восстановить случай толстого стекла.
Она умеет поворачивать комплексную амплитуду на малый угол за счёт изменения мнимой части, но реализовать вращение уже не способна. Для этого ей надо уметь изменять действительную компоненту.

Но нам и не надо из неё восстанавливать. Мы уже прекрасно знаем ответ для толстого стекла, выраженный через экспериментально определённый коэффициент преломления $n$: нам кажется, что свет замедлился в стекле в $n$ раз.
Зато, взяв тонкое стекло и сделав серьёзное упрощение, мы получили связь $n$ с атомами и электронами.

Уважаемый se-sss!
Спасибо за ответ.
Конечно же мы знаем эффект замедления света на толстом слое стекла. Мой вопрос о том, каким физическим явлением объясняется этот эффект.
По моему, если мы даже упрощенно описываем явление, мы должны получить рассматриваемый эффект, пусть в определенных условиях и с определенной точностью.
По моему, в нашем случае этого нет, и в этом состоит мой вопрос. Есть ли описание того, как явление возбуждения зарядов волной источника приводит к эффекту замедления света на толстом слое среды.
Я, как мог, показал, что интуитивное предположение, что если один тонкий слой задержит свет на x сек., то 2 слоя задержат его на 2x сек., в нашем случае не работает.

[se-sss]

Цитата:

Я, как мог, показал, что интуитивное предположение, что если один тонкий слой задержит свет на x сек., то 2 слоя задержат его на 2x сек., в нашем случае не работает.

Ну как не работает? Работает. Увеличили $\Delta z$ в 2 раза, 2-е слагаемое в формуле увеличилось в 2 раза.
Но работает, пока слой тонкий и можно напрямую пользоваться формулой (1). А дальше не работает.

[RIV1207]

AnatolyBa в сообщении #1116295 писал(а):

RIV1207
Мне кажется вы тратите слишком много сил на борьбу с комплексными числами. Примите их как удобный метод, а потом, когда разберетесь в сути дела, можете посмотреть, как обойтись без них.
Между Сивухиным и Фейнманом в данном случае я бы предпочел Сивухина, по моему он подробнее объясняет, попробуйте разобраться.
Далее, ваша формула (1) ((31.8 у Фейнмана) это не начало рассуждения, а конец, результат. Фейнман выводит ее (формально) из (31.5). А вот откуда он берет (31.5)? Фактически он постулирует ее исходя из уже известного факта замедления света в среде. (Кстати, (31.5) записана не для тонкой пластины, а для пластины произвольной толщины - то что вы хотите вывести) Т. е. здесь, в этом парагграфе, Фейнман не выводит замедление из первых принципов, а берет его за исходный факт и поясняет происхождение. Далее, в следующих параграфах, он исследует это подробнее.

Уважаемый Анатолий!
Вы совершенно верно подметили, что борьба с комплексными числами меня очень интересует, и так же правы, что пока нужно оставить ее в стороне.
Также Вы правы, что (31.5) записана для пластины любой толщины. Но переход к формуле (31.8) произведен уже только для тонкой пластины, обратный переход не возможен, поэтому мой вопрос этот факт не снимает.
После вашего упоминания я заметил, что и формула (31.5) не позволяет объяснить запаздывание света более чем на одну длину волны. Т.е. вопрос стоит еще на уровне предпосылок.
В сути дела, в объеме приведенном у Фейнмана и Сивухина я разобрался.
Фейнман сначала отвечает на вопрос, какой должна быть суперпозиция волн тонкого (!) слоя среды, чтобы приводить к замедлению света, а потом показывает, она такая и есть. Сивухин идет прямым путем, рассматривает излучение осцилирующих зарядов тонкого слоя и получает, что это приводит к замедлению света. Вот и вся разница.
Ответа на мой вопрос в указанных трудах заведомо нет.
Причем, даже не важно, толстая пластина или нет. Если пластин будет 2, мы ожидаем, что запаздывание света возрастет в 2 раза, а (31.8) такого результата, не дает.

[AnatolyBa]

поправьте скорей грамматику, опять вас побьют.

[Pphantom]

RIV1207, пожалуйста, запомните, что фамилия Ричарда Фейнмана пишется именно так. Выше поправил, в следующий раз отправлю в Карантин.

[RIV1207]

se-sss в сообщении #1116324 писал(а):

Цитата:

Я, как мог, показал, что интуитивное предположение, что если один тонкий слой задержит свет на x сек., то 2 слоя задержат его на 2x сек., в нашем случае не работает.

Ну как не работает? Работает. Увеличили $\Delta z$ в 2 раза, 2-е слагаемое в формуле увеличилось в 2 раза.
Но работает, пока слой тонкий и можно напрямую пользоваться формулой (1). А дальше не работает.

Вы совершенно правы, здесь я ошибся.
Свой текст сообщения несколько дней продумывал, а сейчас урывками писал, это недопустимо.
Но мой вопрос несмотря на ошибочный комментарий остается в силе.

[AnatolyBa]

RIV1207 в сообщении #1116352 писал(а):

(31.5) записана для пластины любой толщины. Но переход к формуле (31.8) произведен уже только для тонкой пластины, обратный переход не возможен

А зачем вам обратный переход? Кроме того он возможен если записать все несколько менее физично и чуть более строго математически.
А именно $\dfrac{dE}{d(\Delta z)}=-\frac{i\omega(n-1)}{c}E$
(я считаю $z$ и $\Delta z$ разными сущностями, первое - текущая координата, второе ширина слоя)
Но это право же не интересно.

RIV1207 в сообщении #1116352 писал(а):

После вашего упоминания я заметил, что и формула (31.5) не позволяет объяснить запаздывание света более чем на одну длину волны

Непонятно. Вероятно, вы имеете в виду, что если сдвиг фазы больше $2\pi$ то всегда можно вычесть $2\pi n$ и привести к величине меньше $2\pi$.
Но тогда возникает вопрос, обратили ли вы внимание, что речь идет о фазовой скорости монохроматической волны (Фейнман пишет кажущаяся скорость), а не о скорости сигнала? Если мы говорим о фазе - вполне законно говорить о любых сдвигах.

RIV1207 в сообщении #1116352 писал(а):

Сивухин идет прямым путем, рассматривает излучение осцилирующих зарядов тонкого слоя и получает, что это приводит к замедлению света

Если вы это видите, то в чем же ваш вопрос? В переходе от тонкого к тослтому слою? Но если на минутку отвлечься от напряженнности и говорить о фазе, то понятно, что каждый слой добавляет сдвиг фазы аддитивно.

[svv]

RIV1207 в сообщении #1116232 писал(а):

По Фейнману, основная формула, описывающая процесс замедления скорости света тонким слоем среды выглядит так:
$E_p=E_0\exp(i\omega(t-z/c))-i\omega(n-1)\triangle z/cE_0\exp(i\omega(t-z/c))$ (1)

$\bullet$ Используем только комплексную форму.
$\bullet$ Выбрасываем множитель $e^{i\omega t}$, но будем всюду подразумевать его.
$\bullet$ Обозначим $k=\frac{\omega}c$.
$\bullet$ Пусть $z$ — координата левой границы тонкой пластины, а $z+\Delta z$ — правой границы. Используя формулу Фейнмана, выразим поле на правой границе пластины через поле на левой границе пластины:
$E(z)=E_0e^{-ikz}$
$E(z+\Delta z)=E(z)e^{-ik\Delta z}(1-i(n-1)k\Delta z)$
Начиная с этого места, мы не обязаны предполагать, что слева от $z$ вакуум. Далее:
$E(z+\Delta z)=E(z)(1-ink\Delta z)+o(\Delta z)$
$E'(z)=-inkE(z)$
Если имеется протяженная область среды, мы можем разбить её на тонкие пластины и к каждой точке области применить этот вывод, значит, во всей области будет справедливо полученное ДУ. Решая его, найдём
$E(z+\Delta z)=E(z)e^{-ink\Delta z}$ ,
где $\Delta z$ уже не предполагается малым.

[se-sss]

Фактически svv решил задачу 31.3(а) из задачника Фейнмана. Остаётся только подстановку сделать.

[RIV1207]

Pphantom в сообщении #1116383 писал(а):

RIV1207, пожалуйста, запомните, что фамилия Ричарда Фейнмана пишется именно так. Выше поправил, в следующий раз отправлю в Карантин.

Уважаемый Pphantom.
Спасибо.
Вчера я получил несколько справедливых замечаний, по сути, на одну тему.
Вы правы, мне необходимо внимательнее относиться к своим ответам.

[RIV1207]

svv в сообщении #1116398 писал(а):

RIV1207 в сообщении #1116232 писал(а):

По Фейнману, основная формула, описывающая процесс замедления скорости света тонким слоем среды выглядит так:
$E_p=E_0\exp(i\omega(t-z/c))-i\omega(n-1)\triangle z/cE_0\exp(i\omega(t-z/c))$ (1)

$\bullet$ Используем только комплексную форму.
$\bullet$ Выбрасываем множитель $e^{i\omega t}$, но будем всюду подразумевать его.
$\bullet$ Обозначим $k=\frac{\omega}c$.
$\bullet$ Пусть $z$ — координата левой границы тонкой пластины, а $z+\Delta z$ — правой границы. Используя формулу Фейнмана, выразим поле на правой границе пластины через поле на левой границе пластины:
$E(z)=E_0e^{-ikz}$
$E(z+\Delta z)=E(z)e^{-ik\Delta z}(1-i(n-1)k\Delta z)$
Начиная с этого места, мы не обязаны предполагать, что слева от $z$ вакуум. Далее:
$E(z+\Delta z)=E(z)(1-ink\Delta z)+o(\Delta z)$
$E'(z)=-inkE(z)$
Если имеется протяженная область среды, мы можем разбить её на тонкие пластины и к каждой точке области применить этот вывод, значит, во всей области будет справедливо полученное ДУ. Решая его, найдём
$E(z+\Delta z)=E(z)e^{-ink\Delta z}$ ,
где $\Delta z$ уже не предполагается малым.

Уважаемый svv,
Спасибо за разъяснения!
Но в предложенном Вами выводе есть один не совсем понятный момент.
Для наблюдателя искомая волна представляется как сумма одной (!) волны источника и волн осциллирующих зарядов многих (!) тонких слов среды.

Если мы использовали волну источника для вывода запаздывания на первом слое, то мы тем самым учли ее влияние на сумму волн, регистрируемых наблюдателем, и не можем учитывать ее для описания остальных тонких слоев.

Тогда получается, что предложенный Вами вывод можно применить не к каждой точке области, а к любой одной тонкой пластине.

Для остальных тонких пластин придется учитывать только второе слагаемое формулы 31.8 из лекций Фейнмана.

Если я не прав, то как в выводе учитывается эта принципиальная разница слагаемых в формуле 31.8?

[Munin]

Что такое "первый слой"?

Даже в слое, имеющем толщину порядка $\lambda,$ много кристаллических слоёв.
Вас интересует рассмотрение одного кристаллического слоя среды?