Дробно-линейные преобразования(преобразования Мебиуса)

[PSP]

Кто-нибудь знает литературу по многомерным дробно-линейным преобразованиям(преобразованиям Мебиуса)?

[PSP]

Каковы инварианты дробно-линейны преобразований(преобразований Мебиуса)?

(например, для линейных преобразований Лоренца это интервал..)

[Brukvalub]

Гиперболическая метрика, двойное отношение и т.п.

[PSP]

Какие дробно-рациональные функции могут быть инвариантны относительно дробно-линейных преобразований?(хотя бы двумерные)

[PAV]

Объединено с предыдущей темой. Просьба не плодить одинаковые темы

[Brukvalub]

Brukvalub писал(а):

двойное отношение

Вот здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0#.D0.93.D0.B5.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0
об этом немного написано. Еще полезно почитать вот эту книжку: Альфорс Л. — Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве

[PSP]

Brukvalub писал(а):

Brukvalub писал(а):

двойное отношение

Вот здесь: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B5%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%B0%D0%B7%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%9C%D1%91%D0%B1%D0%B8%D1%83%D1%81%D0%B0#.D0.93.D0.B5.D0.BE.D0.BC.D0.B5.D1.82.D1.80.D0.B8.D1.87.D0.B5.D1.81.D0.BA.D0.B8.D0.B5_.D1.81.D0.B2.D0.BE.D0.B9.D1.81.D1.82.D0.B2.D0.B0
об этом немного написано. Еще полезно почитать вот эту книжку: Альфорс Л. — Преобразования Мёбиуса в многомерном пространстве

Посмотрел и то и это.Мало!!!!!!!!!!!!!!!!!
После НГ поставлю конкретно задачу с формулами...может кто поможет...

[PSP]

Ставлю конкретно задачу:
Имеется дробно-рациональная функция вида

$$F(x,y)=\frac{c_{n0}x^n+..c_{ij}x^iy^j...c_{0n}y^n+c}{d_{m0}x^m......+d_{ij}x^iy^j...+d_{0m}y^m+d} [I]$$

Можно ли доказать, что она инвариантна относительно дробно-линейных преобразований вида :

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{1}}{b_{11}x+b_{12}y+b_{1}} [II]$$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{2}}{b_{21}x+b_{22}y+b_{2}}[III]$$

т.е. F(x,y)=F(x',y') ?
А также найти конкретный вид этих преобразований в виде зависимостей a,b отc,d?

И при каких значениях n,m это преобразование будет отличным от тождественного?
Будут ли эти преобразования иметь групповые свойства , и если да , то какие?

Замечание : все величины здесь предполагаются вещественными...

[shwedka]

Смотрю на это пессимистично. Для того, чтобы функция была иинвариантна относительно дробно/линейных преобразований, нужно, чтобы инвариантными оказались две кривые, кривые нулей числителя и знаменателя. Кривые устроены довольно хитроумно, и я не вижу причин, почему бы они были инвариантными.

[Leox]

PSP писал(а):

Ставлю конкретно задачу:
Имеется дробно-рациональная функция вида

$$F(x,y)=\frac{c_{n0}x^n+..c_{ij}x^iy^j...c_{0n}y^n+c}{d_{m0}x^m......+d_{ij}x^iy^j...+d_{0m}y^m+d}$$

Можно ли доказать, что она инвариантна относительно дробно-линейных преобразований вида :

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y+a_{1}}{b_{11}x+b_{12}y+b_{1}}$$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y+a_{2}}{b_{21}x+b_{22}y+b_{2}}$$

т.е. F(x,y)=F(x',y') ?
А также найти конкретный вид этих преобразований в виде зависимостей a,b отc,d?

И при каких значениях n,m это преобразование будет отличным от тождественного?
Будут ли эти преобразования иметь групповые свойства , и если да , то какие?

Замечание : все величины здесь предполагаются вещественными...

Вам нужно более коректно поставить задачу. Наверное так - найти рациональные инварианты группы дробно линейных преобразований.

[PSP]

Leox писал(а):

Если дробно-линейные преобразования вырождаются в линейные с определителем 1 и m=n то эта задача эквивалентна классической задаче нахождения ковариантов бинарной формы - нетривиальной вычислительной проблеме.

Не знал про эту проблему...Где можно про это почитать...?

Добавлено спустя 1 минуту 38 секунд:

Leox писал(а):

Вам нужно более корректно поставить задачу. Наверное так - найти рациональные инварианты группы дробно линейных преобразований.

Согласен.И я ж больше физик....
Пусть так:

Найти все рациональные инварианты группы дробно линейных преобразований или её подгрупп.

[Leox]

нужно уточнить

[PSP]

Leox писал(а):

Но там рассматриваются теоретические вопросы. Вас, как физика, наверное должны интересовать лишь методы построения таких инваринтов.

Совершенно верно. Жду личного сообщения.И пошёл искать указанные Вами книги..

[Leox]

Извиняюсь, но вчера я действительно поспешил и неправильно класифицировал задачу - просто ваше понимание инвариантов отличается от классического и я не сразу заметил.

1. Инвариантами вашего преобразования (II)-(III) будут только константы. Тоесть не существует такой нетривиальной рациональной дроби которая бы не изменялась при действии всех преобразований вида (II)-(III). Достаточно проверить частный случай
x'=\alpha x, y'=\beta y.

2. Возможно вас интересовала такая задача - есть рациональная дробь и нужно найти все преобразования которые не изменяют эту дробь?

[PSP]

Leox писал(а):

2. Возможно вас интересовала такая задача - есть рациональная дробь и нужно найти все преобразования которые не изменяют эту дробь?

Да, именно так!Но преобразования из множества дробно-линейных... Пытался решить эту задачу в Мапле, но не получилось...