Дробно-линейные преобразования(преобразования Мебиуса)

[PSP]

Есть ли исследования по группам и инвариантам двумерных преобразований Мебиуса?

[maxal]

PSP, предупреждение за дублирование тем!

[PSP]

[quote="maxal"][/quote]
Извиняюсь, совсем заработался!!Простите,больше не буду!!!

[Brukvalub]

Есть, и немало. Вот, лишь для примера, несколько книжек:
Бердон А. — Геометрия дискретных групп
Ленг С. — SL2(R)
Апанасов Б.Н. — Геометрия дискретных групп и многообразий
Адамар Ж. — Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций
Фукс Б.А. — Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений
Есть и иноязычные, но они отсутствуют в нашей библиотеке

[PSP]

Brukvalub писал(а):

Есть, и немало. Вот, лишь для примера, несколько книжек:
Бердон А. — Геометрия дискретных групп
Ленг С. — SL2(R)
Апанасов Б.Н. — Геометрия дискретных групп и многообразий
Адамар Ж. — Неевклидова геометрия в теории автоморфных функций
Фукс Б.А. — Неевклидова геометрия в теории конформных и псевдоконформных отображений
Есть и иноязычные, но они отсутствуют в нашей библиотеке

Спасибо! Достал всё!

[PSP]

Пусть даны преобразования:

$$x'=\frac{a_{11}x+a_{12}y}{b_{11}x+b_{12}y+b_{1}}$$

$$y'=\frac{a_{21}x+a_{22}y}{b_{21}x+b_{22}y+b_{2}}$$

Нужно найти рациональные выражения ,которые относительно этих преобразований будут инвариантны.
Как такие рациональные выражения найти? Может, есть известный способ?

[PSP]

Ставлю конкретно задачу:
Имеется дробно-рациональная функция вида

$$F(x,y)=\frac{c_{n0}x^n+..c_{ij}x^iy^j...c_{0n}y^n+c}{d_{m0}x^m......+d_{ij}x^iy^j...+d_{0m}y^m+d} [I]$$

Можно ли доказать, что она инвариантна относительно дробно-линейных преобразований вида :

$$x'=\frac{a_{1}x+a_{2}y}{b_{1}x+b_{2}y+b_{3}} [II]$$

$$y'=\frac{a_{2}x+a_{1}y}{b_{1}x+b_{2}y+b_{3}}[III]$$

т.е. F(x,y)=F(x',y') ?
А также найти конкретный вид этих преобразований в виде зависимостей a,b отc,d?

И при каких значениях n,m это преобразование будет отличным от тождественного?
Будут ли эти преобразования иметь групповые свойства , и если да , то какие?

Замечание : все величины здесь предполагаются вещественными...

[PSP]

shwedka писал(а):

Смотрю на это пессимистично. Для того, чтобы функция была иинвариантна относительно дробно/линейных преобразований, нужно, чтобы инвариантными оказались две кривые, кривые нулей числителя и знаменателя. Кривые устроены довольно хитроумно, и я не вижу причин, почему бы они были инвариантными.

Дорогя shwedka!
Не могли бы Вы об этом поподробнее?

[shwedka]

Поясняю. если функция инвариантна, то среди прочего, должны быть инвариантны множество, где функция обращается в ноль, то есть множетво нулей числителя, и множество, где функция не определена по причине деления на нуль, то есть множество нулей знаменателя.
Эти две кривые могут быть устроены довольно сложно. Потому я смотрю пессимистично на то, что дробно-линейное преобразование может оставить на месте даже одну такую кривую, не говоря о двух.
Считать самой мне не хочется, но Вы сами попробуйте, возьмите уравнение кривой, скажем, третьей степени, и посмотрите, какие мебиусовы преобразования ее оставляют на месте.