Модель Мертона

[MestnyBomzh]

Есть модель Мертона, которая утверждает, что вероятность дефолта фирмы можно вычислить следующим образом:

$$P(V_T < B) = N \big[ \frac{\ln\frac{B}{V_0} - (\mu-\frac{1}{2}\cdot\sigma^2)T}{\sigma\sqrt{T}} \big]$$

Здесь B - долг фирмы, $V_0$ - стоимость активов в начальный момент времени, $\mu$ - ожидаемая стоимость активов, $\sigma$ - волатильность активов, $T$ - время.
У меня такой вопрос: почему величина, которая стоит под $N[..]$ не является безразмерной? Например, если мы будем считать в млн или в млрд, то получим разные ответы.

[Евгений Машеров]

А где Вы видите размерные величины?
"Миллионы или миллиарды" относятся лишь к $B$ и $V_0$, их, очевидно, меряем в одних величинах, и всё сокращается.

[dsge]

MestnyBomzh в сообщении #1114700 писал(а):

не является безразмерной? Например, если мы будем считать в млн или в млрд

млн и млрд - это не размерность, а, я подозреваю, числа.

[MestnyBomzh]

Размерность. Проблема в сигме. Я её вычисляю по формуле $\sigma = \sqrt{\frac{1}{n} \sum\limits_{k=1}^{k=n} (\bar{x}-x_k)}$. Но, видимо, тут что-то не так

[dsge]

Это другая сигма. Это коэффициент при дифференциале Винеровского процесса в стохастическом дифференциальном уравнении.

[MestnyBomzh]

Ага, понял. Верно ли тогда, что $x_k = \ln(\frac{V_k}{V_{k-1}})$?
А сигму уже вычисляем по полученному массиву $x_k$

[dsge]

Приблизительно. Если логарифм - то это непрерывно-накопленная доходность, т.е. доходность за бесконечно малый промежуток времени.

[MestnyBomzh]

Приблизительно? А как правильно тогда?

[dsge]

$x_k = \frac{V_k-V_{k-1} }{V_{k-1} }$

[MestnyBomzh]

То есть если, например, есть $V_0 = 4, V_1 = 2, V_2 = 5$, то $x_1 = -0.5, x_2 = 1.5$. А потом ищу $\sigma$ от $x_1, x_2$ ?

[Евгений Машеров]

Размерность сигмы - $T^{-\frac 1 2}$, безразмерность получается уже после домножения на время (для $\sigma^2$, для просто сигмы на корень из времени)
Дело в том, что это не просто стандартное отклонение относительных (или логарифмических) изменений, а приведенное к единичному (годовому, обычно) отрезку времени, и при этом приведении возникает размерность, которой не было у СКО от логарифмов относительных изменений. Но поскольку период единица - в формуле расчёта это не отражено, и кажется, что результат безразмерен.

[MestnyBomzh]

Ага, кажется, понял. Но ведь тогда получается, что размерность $T$ и размерность шага по $V$ должны быть согласованы? Например, $V_1, V_2$ обозначают активы в первый и второй кварталы, а $T$ будем измерять в кварталах, верно?

[Евгений Машеров]

T измеряется обыкновенно в годах. То есть если у нас рассматривается прогноз на квартал - $T=0.25$

[MestnyBomzh]

Если $T$ в годах, то почему активы могут измеряться в кварталах?

[upgrade]

Подскажите, что такое "интегральная форма нормального распределения" - $N[...]$.