Исследовать на сходимость интеграл

[Otta]

Так. "О большое" в любом случае штука локальная, и выполнено Ваше неравенство

lantza в сообщении #1114015 писал(а):

$f(x) = O(1/x^3) \leftrightarrow \exists C>0 \; \exists \delta > 0 : \forall x \in (\dfrac{1}{\delta}, +\infty) \to |f(x)|\leqslant \dfrac{C}{|x^3|} $

как видите, не при всех $x$, а только при достаточно больших.

[demolishka]

lantza, почти так. Только интеграл на самом деле разбивается не до единицы, а до некоторого числа $N.$ Это связано с преобразованием $o$ малого в $O$ большое в формуле Тейлора. При разложении Вы этот момент пропустили. И на это Вам уже намекали

Otta в сообщении #1114012 писал(а):

lantza, а вот в Вашем стартовом разложении, после первого равенства, $O(x^{-4})$ откуда взялось?

Но это технические мелочи. Давайте разберемся с каждым из трех интегралов, полученных после замены синуса на его разложение в ряд Тейлора.

[Red_Herring]

demolishka в сообщении #1114011 писал(а):

Вот и не лезьте туда.

Много лет в г.Ленинграде я увидел замечательные плакаты наглядной агитации правил уличного движения. На одном старушка бойко сигала через ограждение отделяющее проезжую часть от тротуара с подписью

Цитата:

Что же непонятного здесь?
Не положено--значит не лезь!

На другом старичок перебегал дорогу перед трамваем:

Цитата:

На старости он стал нарушителем.
А ведь мог бы быть долгожителем!

[lantza]

Теперь стало ясно. Спасибо.

demolishka в сообщении #1114021 писал(а):

Давайте разберемся с каждым из трех интегралов, полученных после замены синуса на его разложение в ряд Тейлора.

Я их самостоятельно разобрал уже, они несложные, так что спасибо за помощь.