Исследовать на сходимость интеграл

[lantza]

Brukvalub в сообщении #1113993 писал(а):

Нет, поскольку второе слагаемое ПРИНЦИПИАЛЬНО неверное, вы же скобки раскрывать не обучены!

$x^2 \dfrac{1-\cos \dfrac{2\cos x^3}{x+1}}{2} = \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^2\cos \dfrac{2\cos x^3}{x+1}}{2}$

[Red_Herring]

А почему в формуле Тейлора для синуса у Вас остаточный член того же порядка, что и второй?

[Otta]

Brukvalub в сообщении #1113990 писал(а):

А косяк с абсолютной сходимостью вы решили не исправлять?

Не надо ему его сейчас исправлять, как же он его исправит, когда он сходимость пока делать не умеет. :)
Brukvalub, Вы ж все понимаете ))

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Otta, конечно, понимаю. Я только хотел добиться от ТС ( и добился!) понимания, что он неверно исследовал абс. сходимость.

[Otta]

(Оффтоп)

Опасаюсь я, что Вы пока добились понимания, что ТС неверно раскрыл скобки.

Впрочем, уже много.

[lantza]

Red_Herring в сообщении #1113997 писал(а):

А почему в формуле Тейлора для синуса у Вас остаточный член того же порядка, что и второй?

То есть подразумевается дописать аж до четвертого порядка? Если сделать и так, то
$x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1}) = x^2\left(\dfrac{\cos x^3}{x+1} - \dfrac{\cos^3 x^3}{6(x+1)^3} + O(1/x^4)\right) = \dfrac{x^2\cos x^3}{x+1} - \dfrac{x^2\cos^3 x^3}{6(x+1)^3}$$ + O(1/x^2)$.

Все равно не понимаю, что делать с этим $O(1/x^2)$.

[Otta]

Ну что делать. Сходимость интеграла от суммы. Э?

[lantza]

Otta в сообщении #1114004 писал(а):

Ну что делать. Сходимость интеграла от суммы. Э?

Я уже указал выше:

lantza в сообщении #1113991 писал(а):

Первые два слагаемые сходятся по признаку Дирихле (там только формулу тройного угла косинуса надо), и остается вот этот $O(1/x)$. Я не знаю, что с ним делать.

Только тут $O(1/x^2)$.

[Red_Herring]

ОК, последний интеграл $\int x^{-2}dx $ сходится, так? На самом деле там будет даже $\int x^{-3}dx $, но это неважно.

Теперь, первый интеграл $\int \frac{d \cos x^3}{3(x+1)}$ по частям. Второй член он $O(1/x)$ но с точностью до $O(1/x^2)$ можно в знаменателе отбросить $1$ и дальше как Вы и писали

[lantza]

Red_Herring в сообщении #1114006 писал(а):

ОК, последний интеграл $\int x^{-2}dx $ сходится, так?

Э, нет:
$\int\limits_{0}^{+\infty} x^{-2}dx = \int\limits_{0}^{1} x^{-2}dx + \int\limits_{1}^{+\infty} x^{-2}dx$.

Первый интеграл в правой части выражения расходится.

В этом и был вопрос, что делать с $O(1/x^2)$.

-- 11.04.2016, 01:14 --

Неужто весь исходный интеграл расходится, и в задачнике просто опечатка?

[demolishka]

lantza, у Вас изначально в нуле проблемы были? Вот и не лезьте туда.
И да, коэффициент в разложении синуса при четвертой степени нулевой, поэтому остаточный член не четвертого, а пятого порядка малости, т.е. после преобразований вместо $O(1/x^2)$ будет $O(1/x^3).$ А теперь для ответа на вопрос

lantza в сообщении #1114009 писал(а):

что делать с $O(1/x^2)$

сначала дайте определение, что такое $O(1/x^2)$ (с учетом замечания выше $O(1/x^3)$).

[Otta]

lantza, а вот в Вашем стартовом разложении, после первого равенства, $O(x^{-4})$ откуда взялось?

[lantza]

demolishka в сообщении #1114011 писал(а):

И да, коэффициент в разложении синуса при четвертой степени нулевой, поэтому остаточный член не четвертого, а пятого порядка малости, т.е. после преобразований вместо $O(1/x^2)$ будет $O(1/x^3).$

Да, спасибо, я подзабыл про правильную запись остаточного члена в формуле Тейлора.

demolishka в сообщении #1114011 писал(а):

сначала дайте определение, что такое $O(1/x^2)$ (с учетом замечания выше $O(1/x^3)$).

Для данного примера при $x\to+\infty$ для $f(x)$
$f(x) = O(1/x^3) \leftrightarrow \exists C>0 \; \exists \delta > 0 : \forall x \in (\dfrac{1}{\delta}, +\infty) \to |f(x)|\leqslant \dfrac{C}{|x^3|} $

Если составить разность выражения с Тейлором выше (с учетом $O(1/x^3)$) и расписать по определению, то получится вот так:

$\left|x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})- \dfrac{x^2\cos x^3}{x+1} + \dfrac{x^2\cos^3 x^3}{6(x+1)^3}\right| \leqslant \dfrac{C}{|x^3|}$

Но что это даст при исследовании на сходимость? Особые точки остались такими же: $0$ и $+\infty$, и интеграл в правой части, опять же, расходится.

demolishka в сообщении #1114011 писал(а):

у Вас изначально в нуле проблемы были? Вот и не лезьте туда.

Что значит "не лезьте в нуль"? Не учитывать особую точку нуля в интеграле справа? Почему?

[demolishka]

lantza в сообщении #1114015 писал(а):

Что значит "не лезьте в нуль"? Не учитывать особую точку нуля в интеграле справа? Почему?

У исходного интеграла где особенность? Вот это

lantza в сообщении #1114015 писал(а):

Особые точки остались такими же: $0$ и $+\infty$

неверно.

[lantza]

demolishka, ой, действительно, я немного поспешил. Особая точка - это та точка, в некоторой окрестности которой подынтегральная функция неограничена (причем бесконечности считаются тоже особыми точками).
$0$ - не особая точка, простите. Особая точка одна: $+\infty$

Тогда что делать в такой ситуации, когда появился $O(1/x^3)$, для которого, как я понимаю, $0$ - уже особая точка?

-- 11.04.2016, 01:58 --

Кажется, я понял. Нужно разбить исходный интеграл на два интеграла:
$\int\limits_{0}^{+\infty} x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})dx = \int\limits_{0}^{1} x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})dx + \int\limits_{1}^{+\infty} x^2\sin(\dfrac{\cos x^3}{x+1})dx$

Первый, понятно, сходится в силу отсутствия особых точек (и непрерывности подынтегральной функции). А раскладывать синус по Тейлору надо именно во втором интеграле, и тогда все хорошо с $O(1/x^3)$. Так?