Выразить объединение через пересечение и разность множеств

[anderlo]

Здравствуйте!
Подскажите правильны ли мои рассуждения?
Задание такое: показать что объединение множеств нельзя определить через разность и пересечение. Рассуждаю так:
Рассмотрим любую формулу которая содержит только операции пересечения и разности, тогда в силу определений этих двух операций, формула может содержать пропозициональные связки только двух видов - конъюнкцию и(или) отрицание. Но
тогда элементарные высказывания будут выражать либо принадлежность $x$ одному из множеств, либо отрицать ее. Тогда возможны несколько вариантов свертывания формул 1. $(x\in A)\wedge (x\in B)$. В другом варианте будут присутствовать высказывания типа $(x\in A)\wedge (x\in B)\wedge (x\notin B)$. Первый вариант будет сводиться к пересечению этих множеств, второй вариант приведет к тождественно ложному высказыванию и следовательно в любом случае - пустому множеству.
Не знаю с чего начать чтобы мои мысли, если они верны, оформить более грамотным математическим языком.

[Brukvalub]

anderlo в сообщении #1111904 писал(а):

Задание такое: показать что объединение множеств нельзя определить через разность и пересечение.

Почему бы не взять два не пересекающихся одноэлементных множества и порассуждать на их примере?

[sergei1961]

на картинке вроде видно, что объединение это как раз две разности и одно пересечение.

[Brukvalub]

sergei1961 в сообщении #1111916 писал(а):

на картинке вроде видно, что объединение это как раз две разности и одно пересечение.

Это ошибочное суждение.

[Anton_Peplov]

sergei1961
Ну какие картинки? Вот Вам два одноэлементных множества, элементами которых являются натуральные числа: множество $\{1\}$ и множество $\{2\}$. Попытайтесь выразить их объединение через разность и пересечение.

[anderlo]

Brukvalub в сообщении #1111915 писал(а):

Почему бы не взять два не пересекающихся одноэлементных множества и порассуждать на их примере?

Я так понимаю мне нужен не общий случай. Либо я не понимаю куда вы пытаетесь направить мои рассуждения.

[Mihr]

anderlo, если это нельзя сделать в данном случае, то нельзя и в общем. Разве не очевидно?

[Brukvalub]

anderlo в сообщении #1111921 писал(а):

Я так понимаю мне нужен не общий случай. Либо я не понимаю куда вы пытаетесь направить мои рассуждения.

Что означают слова "мне нужен не общий случай" ?

[Anton_Peplov]

anderlo
То, что Вам надо доказать, в точности звучит так: существуют такие множества $A$ и $B$, что их объединение нельзя записать как суперпозицию разности и пересечения. Это и называется "в общем случае нельзя". Так что достаточно одного контрпримера.
Существуют и такие $A$ и $B$, что можно. Достаточно взять $A = B$, чтобы их объединение было равно их пересечению.

[anderlo]

Anton_Peplov в сообщении #1111920 писал(а):

Попытайтесь выразить их объединение через разность и пересечение.

Дело тут не в том чтобы пытаться, а в том что это нужно логически вывести из определений разности и пересечения. Причем для любых двух множеств. Насколько я понимаю математика не очень любит доказательств в основе которых лежат частные случаи.

Brukvalub в сообщении #1111923 писал(а):

Что означают слова "мне нужен не общий случай" ?

Извините "не частный"


Может это поможет понять что нужно

Anton_Peplov
Формулировка мне кажется удачной спасибо!

[Anton_Peplov]

anderlo в сообщении #1111927 писал(а):

Насколько я понимаю математика не очень любит доказательств в основе которых лежат частные случаи.

Чтобы доказать, что какие-то множества существуют, достаточно привести пример.

[Brukvalub]

anderlo в сообщении #1111927 писал(а):

Насколько я понимаю математика не очень любит доказательств в основе которых лежат частные случаи.

Вы не путаете математику с девушкой? Это девушки любят или не любят, а математика - наука логическая.

[anderlo]

Anton_Peplov в сообщении #1111933 писал(а):

Вам нужно как раз не доказательство, а опровержение. А опровержение - это контрпример.

Я полагаю, что неправильно понимаю слова "показать что нельзя" смотрите картинку выше?

[Anton_Peplov]

anderlo в сообщении #1111938 писал(а):

Я полагаю, что неправильно понимаю слова "показать что нельзя" смотрите картинку выше?

На картинку посмотрел. Ничего нового она не добавила. И я, и уважаемый Brukvalub уже объясняли Вам, что в данном случае означает "показать, что нельзя". Если у Вас остаются какие-то экзистенциальные сомнения - простите, умываю руки. Чувствую, здесь опять начнется поиск суслика на десяток страниц.

[Brukvalub]

Возьмем $A=B$, тогда $A\cup B=A\cap\ B$ , если же A - любое множество, а $B$ - пустое, то $A\cup B=A\setminus B$.
Выходит, все можно выразить, и задача неверна?