Выразить объединение через пересечение и разность множеств

[anderlo]

Спасибо!


На будущее: я верно понял, что "показать что нельзя" не означает "доказать что нельзя"?
Верно ли что контрпример для: "показать, что нельзя определить разность через пересечение и объединение" может выглядеть как $(A\cup B)\cap A$ в случае, если $A$ и $B$ не имеют общих элементов?
Прошу прощения если мои вопросы кажутся тупыми, но математикой занимаюсь самостоятельно и некоторые стандартные фразы могу трактовать не правильно. Преподавателя не могу спросить.

[Someone]

anderlo в сообщении #1111944 писал(а):

я верно понял, что "показать что нельзя" не означает "доказать что нельзя"?

Нет, неверно.

anderlo в сообщении #1111944 писал(а):

Верно ли что контрпример для: "показать, что нельзя определить разность через пересечение и объединение" может выглядеть как $(A\cup B)\cap A$ в случае, если $A$ и $B$ не имеют общих элементов?

Эта фраза является бессмысленной. Поднатужьтесь и сформулируйте корректно.

[Anton_Peplov]

anderlo в сообщении #1111944 писал(а):

На будущее: я верно понял, что "показать что нельзя" не означает "доказать что нельзя"?

Есть два типа задач. Первая - "доказать, что для всех $x$ верно..." Например, доказать, что все операции алгебры логики могут быть записаны как суперпозиция пересечения, дополнения и разности. Здесь не хватит одного примера, потому что речь идет обо всех операциях. Требуются общие рассуждения. Вторая - "доказать, что существуют такие $x$, что..." Тут достаточно привести один пример. Например, чтобы доказать, что существуют множества, объединение которых нельзя записать как суперпозицию пересечения и разности, достаточно показать два таких множества.

Еще пример. "Доказать, что всякая дифференцируемая функция непрерывна" - требуются общие рассуждения. "Доказать, что не всякая непрерывная функция дифференцируема" = "Доказать, что существует непрерывная, но не дифференцируемая функция" - хватит одного примера.
Так понятно?

[anderlo]

Anton_Peplov в сообщении #1111970 писал(а):

Еще пример. "Доказать, что всякая дифференцируемая функция непрерывна" - требуются общие рассуждения. "Доказать, что не всякая непрерывная функция дифференцируема" = "Доказать, что существует непрерывная, но не дифференцируемая функция" - хватит одного примера.
Так понятно?

Не уверен... Но рискну: Если мне нужно показать, что в общем случае "нельзя", мне нужно найти хотя бы один пример того, когда "нельзя".

Someone в сообщении #1111967 писал(а):

Эта фраза является бессмысленной. Поднатужьтесь и сформулируйте корректно.

Получается я привел пример когда "можно", а не контрпример?

-- 04.04.2016, 02:11 --

Mihr в сообщении #1111922 писал(а):

anderlo, если это нельзя сделать в данном случае, то нельзя и в общем. Разве не очевидно?

Вам тоже спасибо!

[Anton_Peplov]

anderlo в сообщении #1111978 писал(а):

Если мне нужно показать, что в общем случае "нельзя", мне нужно найти хотя бы один пример того, когда "нельзя".

Да, именно так. Рад, что Вы поняли.

anderlo в сообщении #1111978 писал(а):

Получается я привел пример когда "можно", а не контрпример?

Получается, что Вы сформулировали свою фразу настолько неаккуратно, что уважаемый Someone ничего в ней не понял и написал, что она бессмысленна. Тут претензии к форме, а не к содержанию, потому что содержание вообще не было прочитано.

[anderlo]

Anton_Peplov в сообщении #1111983 писал(а):

Да, именно так. Рад, что Вы поняли.

Спасибо большое! Brukvalub и Someone тоже спасибо. Тема закрыта.

[Iam]

Как вариант.
$ A\cap B = A \setminus (A \setminus B)$, поэтому все операции, представимые композицией операций $ \cap $ и $ \setminus $, можно представить композицией операций $ \setminus $. Пусть $F(\cdot,\cdot)$ -- такая формула. Методом индукции нетрудно доказать, что
$F(X,\oslash)=F(\oslash,X) \Rightarrow F(X,\oslash)=F(\oslash,X)=\oslash$.
Но для операции $ \cup $ (в непустой алгебре) это неверно, т. к. при $ A \ne \oslash $ имеет место $ A\cup \oslash = \oslash \cup A \ne \oslash $.