Оценка интегрального синуса сверху

[Grand.Master]

Помогите, пожалуйста, это доказать.

$$\left\lvert\int\limits_{a}^{b}\frac{\sin(x)}{x}\right\rvert\leqslant\frac{2}{a}$$

при чем

$$b>a$$

Дошел до того, что

$$\left\lvert\int\limits_{a}^{b}\frac{\sin(x)}{x}\right\rvert\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left\lvert\frac{\sin(x)}{x}\right\rvert\leqslant\int\limits_{a}^{b}\frac{\left\lvert\sin(x)\right\rvert}{x}\leqslant\int\limits_{a}^{b}\frac{1}{x}=\ln\frac{b}{a}$$

[Otta]

Какую-нибудь теорему о среднем не пробовали?

[Grand.Master]

Попробовал, вот что вышло...

$$\int\limits_{a}^{b}\left\lvert\frac{\sin(x)}{x}dx\right\rvert=\frac{1}{a}\int\limits_{a}^{\xi}\left\lvert\sin(x)dx\right\rvert+\frac{1}{b}\int\limits_{\xi}^{b}\left\lvert\sin(x)dx\right\rvert\leqslant\frac{\xi-a}{a}+\frac{b-\xi}{b}=\frac{\xi(b-a)}{ab}$$

А дальше даже не знаю как(

[NSKuber]

Вы не торопитесь модуль под интеграл перекидывать.
Интеграл $\int_{a}^{\infty} \lvert \frac{\sin x}{x} \rvert dx$ вообще расходится, поэтому после такого шага вы точно ничего не докажете.

[Grand.Master]

Мне известно свойство, что если $f\in R[a,b]$, то $\left\lvert\int\limits_{a}^{b}f(x)dx\right\rvert\leqslant\int\limits_{a}^{b}\left\lvert f(x\right\rvert)dx$, поэтому, наверное, и применил..

[DeBill]

Grand.Master
Оценка похожа на оценку из признака Абеля-Дирихле. Ну, и попробуйте делать в соответствии с его док-вом:
проинтегрируйте один раз по частям (синус - под дифференциал); косинус под интегралом замените на 1, - должно получиться...

[Grand.Master]

DeBill

Правильно я понимаю..

$$\left\lvert\int\limits_{a}^{b}\frac{\sin(x)}{x}dx\right\rvert=\left\lvert \left.-\frac {\cos(x)}{x}\right|^b_a -\int\limits_{a}^{b}\frac{\cos(x)}{x^2}dx\right\rvert\leqslant\left\lvert\frac{\cos(a)}{a}-\frac{\cos(b)}{b}\right\rvert+\left\lvert\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right\rvert$$

Как-то не получается свести..

[Vince Diesel]

Если $a<0$, то неравенство, вообще говоря, неверно.

[Grand.Master]

Vince Diesel
Забыл до конца дописать $b>a>0$

[Otta]

Grand.Master в сообщении #1111868 писал(а):

Как-то не получается свести..

Ну и оценивайте дальше, какие проблемы.

Что касается теоремы о среднем, удобнее использовать частный случай - для монотонно невозрастающих функций.

[Grand.Master]

Otta
Да тогда получается $\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$

[Otta]

Grand.Master
Нет, это очень грубо. Как Вы оцениваете?

[Grand.Master]

Otta

$$\left\lvert\frac{\cos(a)}{a}-\frac{\cos(b)}{b}\right\rvert+\left\lvert\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right\rvert\leqslant\left\lvert\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right\rvert +\left\lvert\frac{1}{b}-\frac{1}{a}\right\rvert \leqslant \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{b}+\frac{1}{a}=\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$$

[DeBill]

Grand.Master
Второй модуль не надо оценивать: просто раскройте его.
А первый поначалу оценили нехорошо: лучше сразу заменить на сумму

[Grand.Master]

DeBill в сообщении #1111884 писал(а):

Grand.Master
Второй модуль не надо оценивать: просто раскройте его.
А первый поначалу оценили нехорошо: лучше сразу заменить на сумму

Что вы имеете в виду под "заменить на сумму"?