Сохраняется момент импульса относительно оси

(это важное уточнение).
Импульс не сохраняется.
Кинетическая энергия не сохраняется. Вот как это увидеть. Разбиваем мысленно твердое тело на очень мелкие частицы с массами

и скоростями

. Тогда величина

даст кинетическую энергию хоть при поступательном, хоть при вращательном движении. Но до столкновения у всех частиц была одинаковая скорость

, после столкновения она у большинства частиц стала заметно меньше.
Если только стержень не ударился о преграду точно центром масс, он обязательно дойдёт до горизонтальной части. Прочитав Вашу задачу, я подумал про силу тяжести. Вероятно, она присутствует. Иначе не говорилось бы именно о горизонтальной скорости (в космосе, вдали от источников силы тяготения, всё равно как двигаться). Тогда, конечно, и момент импульса относительно оси

будет меняться, но не в первый момент, и понятно по какому закону.