В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию

[codevias]

Не получилось решить эту задачу:

В трапеции ABCD боковая сторона BC перпендикулярна основанию CD.
Окружность проходит через A и D, и касается прямой BC в точке M.
Найти: расстояние от точки M до AD, если AB=5, СD=4.
Доказать: треуг.ABF~треуг.FBK, если F-точка пересечения AD и BC. BK-высота треуг. ABF, которая падает на продолжение AD.

[codevias]

Решение:
По условию задачи BC перпендикулярна CD, следовательно перпендикулярна и AB

(т.к. в трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки M до прямой AD - отрезок, перпендикулярный AD и проходящий

через точку M.
Продолжим стороны AD и CB до пересечения в точке F.
Проведем DQ параллельно CB.
BQ=CD (т.к. BCDQ - прямоугольник).
QA=AB-BQ=5-4=1
По определению косинуса: cos∠DAQ=QA/AD=1/DA
Рассмотрим треугольники FDC и DQA.
∠DFC=∠ADQ (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых FB и DQ)
∠FCD=∠DQA=90°
Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия).
Тогда, CD/QA=FD/DA
4/1=FD/DA
FD=4DA
По теореме о касательно и секущей:
FM^2=FA*FD=(FD+DA)*FD=(4DA+DA)4DA=5DA*4DA=20DA^2
FM=DA√20=2DA√5
Рассмотрим треугольники FMP и FBA.
∠DFC - общий
∠MPF=∠FBA=90°
Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника, получаем, что

∠FMP=∠BAF.
Следовательно, cos∠FMP=cos∠BAF.
MP=FM*cos∠FMP=FM*cos∠BAF=FM/DA=2DA√5/DA=2√5
Ответ: MP=2√5

-- 17.03.2016, 23:47 --

осталось доказать подобие

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);


Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.