О противоречиях в основании математики

[Алексей К.]

alatin в сообщении #1106224 писал(а):

Тогда как это возможно из не имеющих размера точек построить имеющее размер пространство?

Я в математике не особо силён, но пытаюсь по мере сил книжки осваивать...

Чтение про "размер точки" (или отсутствие оного) мне попадалось очень редко. Кажется, только в исторических обзорах-главах, апеллирующих к Эвклиду.

В чтениях про пространства НИКОГДА не встречалось слово "размер". Всегда --- размерНОСТЬ.

Я уверен, что это разные слова (и величины разной размерНОСТИ). Ну типа как "карбонат" натрия и "БИкарбонат" оного. Или, допустим, "попа" и "попаДЬЯ". Я бы с этого начал критику. Типа перефразировал бы --- "Тогда как это возможно из [имеющей размер] попы построить [имеющую размер] попадью"? Чушь какая-то, сразу видно.

[Someone]

Вот что значит плохо сформулированный вопрос: уже третье толкование слова "размер".

[Brukvalub]

alatin в сообщении #1106396 писал(а):

Вопрос стоит конкретно и упрямо: если у точки нет размера, то, бери хоть счетное, хоть несчетное их число, соорудить размер не получится.

Объясните, почему не получится? Без дополнительных аргументов это пустое, ничего не стОящее заявление.

alatin в сообщении #1106224 писал(а):

Из алгебры известно, что отображение плоскости на прямую линию вырождено

Дайте точную формулировку этой "теоремы из алгебры". Вот я заявляю, что это ложь, в алгебре нет таких теорем. Опровергните мое заявление.
Иначе я заявлю, что "Я поставил ясные вопросы и ожидал на них прямые ответы.
Ответов не получил."

[Teoretic]

Не надо путать размеры физических тел и "размеры" множеств. Реальные объекты состоят также из реальных объектов.
Поэтому объем некоторого физического тела равен сумме объемов составляющих его физических тел.

Множество точек состоит из точек. Точка - идеальное понятие, полученное как предел части реального объекта при неограниченном его дроблении на подчасти. Это понятие очень понравилось математикам и его сделали одним из ключевых понятий в геометрии. Но вот незадача, на множество точек уже нельзя напрямую перенести наши бытовые представления о длине, площади и объеме. Вводят отдельные определения, математические модели для этих бытовых понятий, которые принято называть одним словом "мера". Меры бывают лебеговы, жордановы и т.д. Почитайте. На самом деле это достаточно частая история в математике.

P. S. Прошу сильно не бить. Понимаю, что попытался на пальцах объяснить вещи, которые невозможно объяснить на пальцах.

[Geen]

А поясните, пожалуйста, в каком месте тут "алгебра" возникает?

-- 14.03.2016, 01:24 --

alatin в сообщении #1106396 писал(а):

Я поставил ясные вопросы

И где то место, где стоят ясные вопросы?

[Евгений Машеров]

Отказавшись от предложения почитать учебники и с их помощью сформулировать вопрос чётче, Вы перевели вопрос в философскую плоскость. А на этой разрежённой высоте Ваш вопрос - частный случай более общего: "Может ли целое иметь свойства, отсутствующие у его частей?".
Может. К примеру, я, как мне кажется, разумен. А мои клетки - нет. Взаимодействие составных частей создаёт новые сущности.

[Yodine]

Евгений Машеров в сообщении #1106500 писал(а):

А на этой разрежённой высоте Ваш вопрос - частный случай более общего: "Может ли целое иметь свойства, отсутствующие у его частей?".
Может. К примеру, я, как мне кажется, разумен. А мои клетки - нет. Взаимодействие составных частей создаёт новые сущности.

Поддержу предыдущего оратора.
И в свою очередь добавлю, при более углубленном погружении в вопрос, выясняется, что оказывается из точек, которые имеют меру равную 0 (меру в смысле размер, то есть не имеют ни длины, ни ширины, ни высоты, ни иного размера) и имеют размерность равную 0, можно строить множества имеющие и длину, и ширину, и многое иное, а также множества разной размерности, что и позволяет им иметь не только длину, но и ширину.
Поэтому я и дал соответствующие ссылки на книжки, где эти вопросы разбираются на доступном уровне. Краткой популярной книжки по данной теме мне не встречалось.

-- 14.03.2016, 11:17 --

В частности, некоторые такие построения осуществлены в популярной книжке
Что такое число? Александр Александрович Кириллов
http://www.math.ru/lib/book/djvu/chislo.djvu

Цитата:

Предисловие.
Глава 1. Цепочка $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C} \subset \mathbb{H} \subset \mathbb{O}$.
    § 1. От $\mathbb{N}$ к $\mathbb{Z}$ и от $\mathbb{Z}$ к $\mathbb{Q}$: группа Гротендика, тела Ли и производные категории.
    § 2. От $\mathbb{Q}$ к $\mathbb{R}$: идея пополнения, $p$-адические числа и адели.
    § 3. От $\mathbb{Q}$ к $\mathbb{R}$: идея порядка; нестандартный анализ.
    § 4. От $\mathbb{R}$ к $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$ и $\mathbb{O}$: алгебры Клиффорда, уравнение Дирака и проективная плоскость над полем из двух элементов.

[alatin]

"...оказывается из точек, которые имеют меру равную 0 (меру в смысле размер, то есть не имеют ни длины, ни ширины, ни высоты, ни иного размера) и имеют размерность равную 0, можно строить множества имеющие и длину, и ширину, и многое иное, а также множества разной размерности, что и позволяет им иметь не только длину, но и ширину".
На мой взгляд, здесь обращена причинно-следственная связь.
На меру люди вышли, обобщая длину, площадь, объем и т.п. Мера - это функция от некоторой области, как сегодня принято говорить - функция множества. Естественно поэтому, что точке, у которой нет области, приписали меру "0".
Отсюда, однако, не следует, что из не имеющих (равных нулю) мер областей можно строить область, имеющую меру.
Иначе говоря, сначала допустили возможность из не имеющих размера точек построить имеющее размеры пространство, а уж потом этот же факт сформулировали на языке теории мер. И вот теперь указывают на теории мер, как на обоснование утверждения возможности соорудить из точек пространство. Забавно.

[mihailm]

Надо бы тему отправить, как минимум, в дискуссионные. Ибо автор не жаждет помощи в решении и разбирательстве - ему и так все ясно (что все плохо).

[Mikhail_K]

alatin в сообщении #1106578 писал(а):

Иначе говоря, сначала допустили возможность из не имеющих размера точек построить имеющее размеры пространство, а уж потом этот же факт сформулировали на языке теории мер. И вот теперь указывают на теории мер, как на обоснование утверждения возможности соорудить из точек пространство. Забавно.

В какой-то степени Вы правы, но ничего забавного или некорректного в этом нет.
Вполне естественно, что сначала строится какая-то не совсем строгая теория, а потом ищется, чем бы её обосновать.
Например, вначале дифференциальное и интегральное исчисление было нестрогой теорией: люди умели дифференцировать и интегрировать, и иногда считать бесконечные ряды, но не знали, что в точности такое производная, интеграл, бесконечный ряд - знание было только интуитивным. Затем стали искать такое строгое основание этому всему, чтобы привычные способы работы с интегралами и производными сохранились. Нашли - таким основанием стала теория пределов. И вот теперь на теорию пределов указывают, как на обоснование дифференциального и интегрального исчисления, хотя сама эта дисциплина появилась раньше.
Так что то, что Вы говорите - не "забавно", а обычное дело в математике.

Поймите вот что: утверждение возможности соорудить из точек пространство не нуждается в обосновании. Потому что есть пример - возьмите любое пространство, например $\mathbb{R}^n$, оно состоит из точек. Всё.
И что я говорил про теорию меры - это скорее не обоснование, а иллюстрация, объяснение, почему так может быть. Обоснование здесь не нужно.

Если же Вам что-то не нравится в этом утверждении, то это Вы должны обосновать обратное - почему, по Вашему мнению, нельзя из точек соорудить пространство. Пока что Вы ничего внятного здесь не сказали. Когда Вы приведёте своё обоснование, почему нельзя так сделать, мы будем искать у Вас ошибки - и непременно найдём их.

Вот хорошая аналогия. Пусть кто-то говорит: "Почему Земля вращается вокруг Солнца - ведь Солнце далеко и его сила притяжения не может действовать на расстоянии. Обоснуйте мне, что сила притяжения Солнца может действовать на расстоянии!" Ну что тут сказать - это просто факт, что сила гравитации может действовать на расстоянии, как бы это ни казалось кому-то странным. И этот факт не надо доказывать. Вот если этот человек попробует объяснить, почему, по его мнению, сила притяжения не может действовать на расстоянии - тогда какой-то разговор будет возможен, в его объяснении можно будет попытаться найти ошибки.
Поймите, что Ваши утверждения "Из точек нельзя соорудить пространство" выглядят как "Сила притяжения не может действовать на расстоянии". Почему нельзя? Почему не может? Это должен объяснить тот, кто задаёт такой вопрос.

[atlakatl]

mihailm
Дискуссионная тема это не помойка для всёпропальщиков, а конструктивный разговор о нерешённых наукой проблем.

[Mikhail_K]

Brukvalub в сообщении #1106428 писал(а):

Дайте точную формулировку этой "теоремы из алгебры".

Кстати, присоединяюсь к этой просьбе.
alatin, приведите свою "теорему из алгебры". И что конкретно утверждал Кантор - тоже приведите точную формулировку.
Согласно правилам форума, Вы обязаны ответить на вопрос, заданный Заслуженным участником (Brukvalub), а также на любой вопрос, заданный несколькими участниками обсуждения. Отказ от ответа есть нарушение правил.

[Brukvalub]

alatin в сообщении #1106578 писал(а):

На меру люди вышли, обобщая длину, площадь, объем и т.п. Мера - это функция от некоторой области, как сегодня принято говорить - функция множества. Естественно поэтому, что точке, у которой нет области, приписали меру "0".
Отсюда, однако, не следует, что из не имеющих (равных нулю) мер областей можно строить область, имеющую меру.

А "оттуда" никто эту возможность и не выводил. Эту возможность получили из других соображений.
Итак "Я поставил ясные вопросы и ожидал на них прямые ответы.
Ответов не получил."
Попробуйте еще раз ответить на поставленные мной ранее вопросы, или снова займитесь привычным вам троллингом, на который, надеюсь, скоро обратит внимание администрация.

[Yodine]

alatin в сообщении #1106578 писал(а):

Отсюда, однако, не следует, что из не имеющих (равных нулю) мер областей можно строить область, имеющую меру.
Иначе говоря, сначала допустили возможность из не имеющих размера точек построить имеющее размеры пространство, а уж потом этот же факт сформулировали на языке теории мер. И вот теперь указывают на теории мер, как на обоснование утверждения возможности соорудить из точек пространство. Забавно.

Чуть выше давал ссылку книжку Кириллова, он осуществляет именно такие построения, его книга служит доказательством того, что можно построить.
Краткое изложение в свободной форме
Вот есть число $1 $ и операция добавить $1$. С помощью этого строим все натуральные числа. Далее добавляем нейтральный элемент назовем $0$. Далее вводим отрицательные числа как обратные к положительным. Далее добавляем рациональные, потом вводим вещественные с помощью специальной процедуры называемой "пополнение", потом комплексные числа и так далее.

[Karan]

Yodine, замечание за неоформление формул в сообщении post1106545.html#p1106545. Сообщение отредактировано.