Доказательство того, что limcos(1/x)=0 при x->0 Найти ошибку

[famesyasd]

Пусть f(x)=x^2sin(1/x) при x=/=0, f(0)=0. Применим к этой функции формулу Лагранжа на отрезке [0,x]:
x^2sin(1/x)=(2csin(1/c)-cos(1/c))x, 0<c<x.
Сократим обе части на х при х=/=0:
xsin(1/x)=(2csin(1/c)-cos(1/c))
Переходя к пределу при х->0, (очевидно, что при этом c->0) получаем:
lim cos(1/c)=0 при c->0, так как два других слагаемых, очевидно, стремятся к нулю.
Но предел cos(1/c) при стремлении аргумента к нулю не существует!
Где ошибка?

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.