Диагонали правильного многоугольника и кольцо вычетов

[Sirion]

Вершины правильного $6n$-угольника пронумеровали по порядку числами от 1 до $6n$. Затем в нём провели все диагонали, соответствующие следующему условию:

$2a+b\;\vdots\; 6n\; \text{либо}\; 2b+a\;\vdots\; 6n, \;\text{где}\; a, b - \text{номера концов диагонали.}$

Докажите, что через каждую точку пересечения проведённых диагоналей проходит ровно три из них.

[Sirion]

Я вам даже картинку принёс:

[svv]

Sirion, спасибо! Правда, картинка проблемой не была. Я позавчера ещё (для себя ) нарисовал вот такую:

Попробовал $n=2,3$ и, как и Вы, остановился на 24-угольнике. Поясню смысл обозначений.

Цвета. Сразу видно, что при любом $n$ диагонали разбиваются на три серии.

Стрелки. У каждой диагонали есть 1-конец и 2-конец, исходя из коэффициента при номере вершины в сумме $a+2b$. 1-конец помечен стрелкой, 2-конец не помечен.

Номера. Будучи прямо связаны с Вашими, здесь они уже имеют более «продвинутый» смысл. Пусть номер диагонали — это число у её 2-конца, на картинке оно имеет тот же цвет, что сама диагональ. Тогда в каждой точке пересечения диагоналей сумма трёх их номеров равна нулю.

Звёздочки. Все диагонали можно получить таким способом. Один человечек идёт против часовой стрелки, становясь на каждом шаге на соседнюю вершину. Другой бежит по часовой стрелке с двойной скоростью, т.е. прыгает через одну. На каждом шаге они перебрасывают между собой отрезок. Если человечки стартуют из одной вершины ($a=b=0$), то в трёх вершинах у них будут места встречи, они и обозначены звёздочками.

Картинка (не обязательно моя или Ваша, а «вообще») изумительно красивая.

[DeBill]

Картинка -супер!
А раскраска и нумерация svv показывают, кто с кем пересекается.
И тогда теорема синусов говорит: ну надо же, и правда пересекаются ...

[svv]

Два очевидных замечания и одно не столь.
1) Многоугольник, собственно, не нужен. 2-концы диагоналей (точнее, уже хорд) можно непрерывно и как угодно двигать по описанной окружности, и если правильно строить по ним 1-концы (есть простые формулы), три соответствующие прямые будут пересекаться в одной точке.
2) Если прямые не пересекутся в одной точке внутри окружности, они с успехом сделают это вне её.

DeBill в сообщении #1104300 писал(а):

ну надо же, и правда пересекаются ...

Да ещё где!
3) Радиус-вектор точки пересечения трёх прямых равен сумме радиус-векторов 2-концов диагоналей. (Все радиус-векторы откладываем от центра многоугольника)

В переводе на русский: малиновый вектор равен сумме трёх чёрных.