Интегралы с модулями и sgn

[Waaazzzuuup]

Доброго времени суток!

Имеется (почти) такое вот чудо (кое-что опущено для негромоздкости)

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty}e^{-k_2\cdot \operatorname{sgn} x } \cdot e^{-( |x| + k_1 - S\cdot \operatorname{sgn} x )^2} dx$$

$k_1, k_2, S$ - коэффициенты.
Основная суть вопроса: что сделать с модулями и $\operatorname{sgn} x$?

Первая идея, пришедшая в голову: разбить интеграл на два, $(-\infty;0) , (0;+\infty)$. Но проблема в том, что это не точки смены знака именно подинтегрального выражения.

Идея два: довод дифференциала до $d|x|$, но тогда не совсем ясно, что делать с $\operatorname{sgn} x$, который, к тому же, появится как отдельный множитель.

Идея три: как-нибудь разгруппировать эту штуку для внесения в дифференциал, и последующего интегрирования по частям. Беда в дифференцировании $\operatorname{sgn} x$: из авторитетных источников (вики ) известно, что дифференциал $\operatorname{sgn} x$ есть дельта-функция Дирака, которая хорошо интегрируется сама по себе по этим пределам, но вкупе с другими функциями что получится - непонятно. Да и опять же, много нехорошего вылезет простыми множителями.

Идея четыре, использованная в выводе этой штукенции: довести до какой-нибудь функции распределения для легкого взятия интеграла по всем $dx$ (чтобы единичка получилась), и тогда останутся только "ошметки" от этой формулы. Но суть в том, что никаких достаточно известных распределений, хорошо сюда подходящих, я не знаю. Может, кто-то знает?

Где-то на просторах интернета нашел такую фразу: с $\operatorname{sgn} x$ при интегрировании и дифференцировании можно оперировать, как с обычной константой. Доверия фраза не внушает, хотя это решит многие проблемы .

Хотелось бы услышать, каков наиболее правильный путь и можно ли использовать последнее утверждение.

Заранее спасибо!

[mihailm]

Waaazzzuuup в сообщении #1102880 писал(а):

...проблема в том, что это не точки смены знака именно подинтегрального выражения...

подынтегральное выражение положительно, посему никаких точек смен нету

[DeBill]

Waaazzzuuup в сообщении #1102880 писал(а):

Первая идея, пришедшая в голову: разбить интеграл на два, (-$\infty$;0) и (0;+$\infty$). Но проблема в том, что это не точки смены знака именно подинтегрального выражения.

Ну и что? Все правильно, так и делайте.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Все формулы оформите, пожалуйста.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.