Тригонометрия и система

[passenger]

1. Вычислить $\log_2(\sin 1^{\circ} \cdot \sin 3^{\circ} \ldots \cdot \sin 89^{\circ})$
2. Числа $x, y, z$ удовлетворяют системе

$\left\{ \begin{array}{l} 3x^2 + 3xy + y^2 = 75,\\ y^2 + 3z^2 = 48,\\ x^2 + xz + z^2 = 9.\\ x, y, z > 0. \end{array} \right. $

Найти $xy + 2yz + 3zx$.

Не получается решить школьными методами

[worm2]

Не получается, потому что они олимпиадные

[venja]

passenger писал(а):

1. Вычислить log_2(sin 1^{\circ} \cdot sin 2^{\circ} \ldots \cdot sin 89^{\circ})

Можно попробовать так.
Заменить $\sin 46=\cos 44, ..., \sin 89=\cos 1$
и воспользоваться формулой двойного угла в виде
$\sin x\cdot \cos x =\frac12\cdot\sin 2x$
потом снова и снова - пока под логарифмом останется один синус 45 (так мне кажется), деленный на 2 в некоторой степени.

[RIP]

venja писал(а):

потом снова и снова - пока под логарифмом останется один синус 45 (так мне кажется), деленный на 2 в некоторой степени.

Учитывая, что ответ $\frac12\log_245-88.5$ (кажется), у меня это вызывает сомнения..

[passenger]

Простите за досадную ошибку, но в условии первой задачи рассматривается произведение синусов по нечётным градусам.

[venja]

Попробуйте ту же идею.

[passenger]

venja писал(а):

Попробуйте ту же идею.

После первого "схлопывания" остаёся $-1 + \log_2(sin2^{\circ} \cdot sin 6^{\circ} \ldots sin 86^{\circ} \cdot sin 45^{\circ}).$ Дальше непонятно как сгруппировать, чтобы произошло "схлопывание".

[RIP]

Первая задача допускает такое "школьное" решение (без использования комплексных чисел).
С помощью тождества

$$\cos(2n+2)x+\cos(2n-2)x=2\cos2x\cdot\cos2nx$$

получаем, что при $n\in\mathbb{N}_0$

$$\cos2nx=P_n(\cos^2x),$$

где $P_n(x)$ --- многочлен степени $n$,

$$P_{n+1}(x)=2(2x-1)P_n(x)-P_{n-1}(x),\quad P_0(x)=1,\quad P_1(x)=2x-1.$$

Отсюда получаем, что при $n>0\quad P_n(x)=2^{2n-1}x^n+\ldots+(-1)^n$.
Поскольку корнями $P_n(x)$ являются $\cos^2\frac{\pi(2k-1)}{4n}$, $k=1,\ldots,n$, то теорема Виета даёт

$$\prod_{k=1}^n\cos\frac{\pi(2k-1)}{4n}=2^{1/2-n},$$

откуда

$$\log_2(\sin1^\circ\cdot\sin3^\circ\ldots\sin89\circ)=-44.5$$

или что-то типа того. Наверно, можно и попроще.

Upd. Кстати, можно было работать и с представлением $\cos2nx=Q_n(\sin^2x)$ и сразу получить ответ для синусов.

[venja]

passenger, действительно, непонятно...

RIP, начинаю верить, что you is nobody really

[RIP]

2. Из первого уравнения системы вычтите второе и утроенное третье. Из того, что получится, выразите $y$ (через $x,z$) и подставьте в $xy+2yz+3zx$. Задача сведётся к нахождению $\frac zx$, это уже легко.

[passenger]

Выразив таким образом y, получаем $y = \frac{z(x + 2z)}{x}$. Итого необходимо найти значение выражения $\frac{z}{x}(x+2z)^2+3zx.$ Каким образом свести такую задачу к поиску $\frac{z}{x}$?

[RIP]

Вынесите $\frac zx$ за скобки и посмотрите внимательно на третье уравнение системы.
Вообще, мне кажется, что эту задачу можно решить проще, но думать лень.

[passenger]

Что-то я не сообразил.. Спасибо!

P.S. И всё-таки, на мой взгляд, в первой задаче предполагается более простое и прозрачное решение

[RIP]

Кстати, если вместо $y$ заменять $x+2z$, то задача сводится к нахождению $\frac xz$. Это так, информация к размышлению...

Насчёт первой задачи --- я тоже так думаю.

[venja]

По поводу первой задачи.
В справочнике Прудникова и др. (Интералы и т.д.), том 1, нашел формулу:
$\prod\limits_{k=1}^{[(n-1)/2]} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = \sqrt{n} \, 2^{(1-n)/2} $
Верхний предел произведения - целая часть....
Там есть и более общие формулы.
При $ n=180 $ получаем то, что хотели.