2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Тригонометрия и система
Сообщение15.12.2007, 14:04 
1. Вычислить $\log_2(\sin 1^{\circ} \cdot \sin 3^{\circ} \ldots \cdot \sin 89^{\circ})$
2. Числа $x, y, z$ удовлетворяют системе

$\left\{ \begin{array}{l}
3x^2 + 3xy + y^2 = 75,\\
y^2 + 3z^2 = 48,\\
x^2 + xz + z^2 = 9.\\
x, y, z > 0.
\end{array} \right. $

Найти $xy + 2yz + 3zx$.

Не получается решить школьными методами :(

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 14:36 
Аватара пользователя
Не получается, потому что они олимпиадные :)

 
 
 
 Re: Две задачи на школьные темы
Сообщение15.12.2007, 15:01 
passenger писал(а):
1. Вычислить log_2(sin 1^{\circ} \cdot sin 2^{\circ} \ldots \cdot sin 89^{\circ})
:(


Можно попробовать так.
Заменить $\sin 46=\cos 44, ..., \sin 89=\cos 1$
и воспользоваться формулой двойного угла в виде
$\sin x\cdot \cos x =\frac12\cdot\sin 2x$
потом снова и снова - пока под логарифмом останется один синус 45 (так мне кажется), деленный на 2 в некоторой степени.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 15:24 
Аватара пользователя
venja писал(а):
потом снова и снова - пока под логарифмом останется один синус 45 (так мне кажется), деленный на 2 в некоторой степени.

Учитывая, что ответ $\frac12\log_245-88.5$ (кажется), у меня это вызывает сомнения..

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 16:22 
Простите за досадную ошибку, но в условии первой задачи рассматривается произведение синусов по нечётным градусам.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 16:26 
Попробуйте ту же идею.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 16:43 
venja писал(а):
Попробуйте ту же идею.

После первого "схлопывания" остаёся $-1 + \log_2(sin2^{\circ} \cdot sin 6^{\circ} \ldots sin 86^{\circ} \cdot sin 45^{\circ}).$ Дальше непонятно как сгруппировать, чтобы произошло "схлопывание".

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 16:48 
Аватара пользователя
Первая задача допускает такое "школьное" решение (без использования комплексных чисел).
С помощью тождества
$$\cos(2n+2)x+\cos(2n-2)x=2\cos2x\cdot\cos2nx$$
получаем, что при $n\in\mathbb{N}_0$
$$\cos2nx=P_n(\cos^2x),$$
где $P_n(x)$ --- многочлен степени $n$,
$$P_{n+1}(x)=2(2x-1)P_n(x)-P_{n-1}(x),\quad P_0(x)=1,\quad P_1(x)=2x-1.$$
Отсюда получаем, что при $n>0\quad P_n(x)=2^{2n-1}x^n+\ldots+(-1)^n$.
Поскольку корнями $P_n(x)$ являются $\cos^2\frac{\pi(2k-1)}{4n}$, $k=1,\ldots,n$, то теорема Виета даёт
$$\prod_{k=1}^n\cos\frac{\pi(2k-1)}{4n}=2^{1/2-n},$$
откуда
$$\log_2(\sin1^\circ\cdot\sin3^\circ\ldots\sin89\circ)=-44.5$$ или что-то типа того. Наверно, можно и попроще.

Upd. Кстати, можно было работать и с представлением $\cos2nx=Q_n(\sin^2x)$ и сразу получить ответ для синусов.

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 17:10 
passenger, действительно, непонятно...

RIP, начинаю верить, что you is nobody really
:)

 
 
 
 
Сообщение15.12.2007, 20:52 
Аватара пользователя
2. Из первого уравнения системы вычтите второе и утроенное третье. Из того, что получится, выразите $y$ (через $x,z$) и подставьте в $xy+2yz+3zx$. Задача сведётся к нахождению $\frac zx$, это уже легко.

 
 
 
 
Сообщение17.12.2007, 18:51 
Выразив таким образом y, получаем $y = \frac{z(x + 2z)}{x}$. Итого необходимо найти значение выражения $\frac{z}{x}(x+2z)^2+3zx.$ Каким образом свести такую задачу к поиску $\frac{z}{x}$?

 
 
 
 
Сообщение17.12.2007, 19:13 
Аватара пользователя
Вынесите $\frac zx$ за скобки и посмотрите внимательно на третье уравнение системы.
Вообще, мне кажется, что эту задачу можно решить проще, но думать лень.

 
 
 
 
Сообщение17.12.2007, 19:23 
Что-то я не сообразил.. Спасибо!

P.S. И всё-таки, на мой взгляд, в первой задаче предполагается более простое и прозрачное решение :)

 
 
 
 
Сообщение17.12.2007, 19:52 
Аватара пользователя
Кстати, если вместо $y$ заменять $x+2z$, то задача сводится к нахождению $\frac xz$. Это так, информация к размышлению...

Насчёт первой задачи --- я тоже так думаю.

 
 
 
 
Сообщение22.12.2007, 20:26 
По поводу первой задачи.
В справочнике Прудникова и др. (Интералы и т.д.), том 1, нашел формулу:
$\prod\limits_{k=1}^{[(n-1)/2]} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = \sqrt{n} \, 2^{(1-n)/2} $
Верхний предел произведения - целая часть....
Там есть и более общие формулы.
При $ n=180 $ получаем то, что хотели.

 
 
 [ Сообщений: 29 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group