Тригонометрия и система

[passenger]

RIP писал(а):

Вынесите $\frac zx$ за скобки и посмотрите внимательно на третье уравнение системы.
Вообще, мне кажется, что эту задачу можно решить проще, но думать лень.

Что-то не могу добить задачу, $\frac zx$ никак не находится...

[passenger]

Эврика! Во второй задаче удалось найти геометрическое решение!

В первой задаче осталось научиться доказывать формулу $\prod\limits_{k=1}^{n-1} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = n 2^{1-n}$.

[Someone]

passenger писал(а):

$\prod\limits_{k=1}^{n} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = n 2^{1-n}$.

Левая часть равна $0$, так как содержит множитель $\sin\frac{n\pi}n=\sin\pi=0$.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

passenger писал(а):

$\prod\limits_{k=1}^{n} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = n 2^{1-n}$.

Левая часть равна $0$, так как содержит множитель $\sin\frac{n\pi}n=\sin\pi=0$.

Вероятно, имелось в виду произведение

\[ \prod_{k=1}^n \sin \frac{k \pi}{2n} \]

[venja]

Профессор Снэйп писал(а):

Someone писал(а):

passenger писал(а):

$\prod\limits_{k=1}^{n} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = n 2^{1-n}$.

Левая часть равна $0$, так как содержит множитель $\sin\frac{n\pi}n=\sin\pi=0$.

Вероятно, имелось в виду произведение

\[ \prod_{k=1}^n \sin \frac{k \pi}{2n} \]

venja писал(а):

По поводу первой задачи.
В справочнике Прудникова и др. (Интералы и т.д.), том 1, нашел формулу:
$\prod\limits_{k=1}^{[(n-1)/2]} \!\! \sin(\frac{k \pi}{n}) = \sqrt{n} \, 2^{(1-n)/2} $
Верхний предел произведения - целая часть....
Там есть и более общие формулы.
При $ n=180 $ получаем то, что хотели.

[passenger]

Исправлено.

[firex]

Сорри за оффтоп, а разве можно решать задачи на форуме с идущих конкурсов? Эти задачи с ПВГ-2008 ( «Покори Воробьёвы горы-2008» )
http://www.student.mk.ru/test.asp?FacID=1
Который заканчивается, как написано на сайте 15 января 2008

Добавлено спустя 4 минуты 30 секунд:

Да похоже что так :
I. Нарушения и наказания
1) Нарушениями считается:
....
о) Вынесение на обсуждение задач еще не прошедших он-лайн и заочных олимпиад.

[Someone]

firex писал(а):

Сорри за оффтоп, а разве можно решать задачи на форуме с идущих конкурсов? Эти задачи с ПВГ-2008 ( «Покори Воробьёвы горы-2008» )
http://www.student.mk.ru/test.asp?FacID=1
Который заканчивается, как написано на сайте 15 января 2008

А для 11 классов - даже 25 января. К сожалению, так бывает. Никто из заглядывавших в эту тему, видимо, об этом не знал.

[ins-]

Я думаю, что этот не серезной проблем. Похожий проблем (системма) быль на Всероссиская Оллимпиада 1984...

[passenger]

Я уже не школьник.
Решаю эти задачи ради интереса и не знал, что они являются задачами с одной из текущих олимпиад.

[нг]

Охотно верим. Не исключаем, что Вас заинтересовал ими школьник, не указывая источник. Тем не менее, правила запрещают обсуждение задач идущих олимпиад, без различия — безусым школьникам и и седобородым академикам. Посему тема закрывается до 25-го.

[нг]

Тема открыта для обсуждения

[Someone]

RIP писал(а):

http://dxdy.ru/viewtopic.php?p=91079#91079
откуда $\log_2(\sin1^\circ\cdot\sin3^\circ\ldots\sin89^\circ)=-44.5$ или что-то типа того. Наверно, можно и попроще.

Можно совсем просто, в духе предложения venja.
Обозначим
$x=\sin 1^{\circ}\cdot\sin 3^{\circ}\cdot\ldots\cdot\sin 89^{\circ}\text{,}$
$y=\sin 2^{\circ}\cdot\sin 4^{\circ}\cdot\ldots\cdot\sin 88^{\circ}\neq 0\text{.}$
Тогда
$xy=\sin 1^{\circ}\cdot\sin 2^{\circ}\cdot\sin 3^{\circ}\cdot\sin 4^{\circ}\cdot\ldots\cdot\sin 88^{\circ}\cdot\sin 89^{\circ}=$
$=\sin 1^{\circ}\cdot\cos 1^{\circ}\cdot\sin 2^{\circ}\cdot\cos 2^{\circ}\cdot\sin 3^{\circ}\cdot\cos 3^{\circ}\cdot\ldots\cdot\sin 44^{\circ}\cdot\cos 44^{\circ}\cdot\sin 45^{\circ}=$
$=2^{-44.5}\cdot\sin 2^{\circ}\cdot\sin 4^{\circ}\cdot\ldots\cdot\sin 88^{\circ}=2^{-44.5}\cdot y\text{,}$
откуда сразу получаем $x=2^{-44.5}$ и $\log_2x=-44.5$.

[venja]

Коротко и красиво!