Вторые производные и T^2M где M=R^1 ?

[Divergence]

Касательный вектор $X_x \in T_xM$, где $M$ - гладкое многообразие, в локальной системе координат можно записать в виде

$$X_x= \sum^{n}_{k=1} a_{k} (x) \, \frac{\partial}{\partial x_k} , \quad (x \in M).$$

Помогите разобраться с простейшим случаем $M=\mathbb{R}^1$. В этом случае

$$ X_x = a (x) \, \frac{\partial}{\partial x} \in T_xM .$$

Пусть

$$Y_x ;= b (x) \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} , \quad Z_x := a (x) \, \frac{\partial}{\partial x} +b (x) \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} . $$

Помогите разобраться:
Принадлежит ли $Y_x \in T^2_x M$ ($M=\mathbb{R}^1$) ?
Принадлежит ли $Z_x \in T^1_x M \oplus T^2 _xM$ ($M=\mathbb{R}^1$) ?

Если нет, то как связаны $Y_x$, $Z_x$ и $T^2_x M$, $T^1_x M$ для $M=\mathbb{R}^1$ ?

[Brukvalub]

Достаточно просто проверить определение, в чем же проблема?

[Divergence]

Проблема - наверное циклит.

А про какое определение вы говорите? Вы хотите сказать, что в этом случае

$$ X_x X^{\prime}_x = (a_1 (x) \, \partial_x) (a_2 (x) \, \partial_x) \in T^2_xM ,$$

$$ X_x X^{\prime}_x = (a_1 (x) a_2 (x) ) \, \partial^2_x + (a_1 (x) \partial_x a_2 (x) ) \partial_x \in T^2_xM $$

или я неправильно вас понял?

[Brukvalub]

Каковы определения объектов
$T^2_x M$ ($M=\mathbb{R}^1$) и
$ T^1_x M \oplus T^2 _xM$ ($M=\mathbb{R}^1$) ?

[Divergence]

$T^2_xM=T_x T_xM $
А вот про определения объектов и был вопрос (не могу найти простую книгу или статью про $T^2M$ (даже на англ.), а от Годбийона - циклит, у Джет Неструева нет $T^2M$ )

Если $(x, a)$ координаты в $T^1M$, тогда

$$V = a \left(\frac{\partial}{\partial a} \right)_{(x,a)} \in T^2_xM, \quad V' = c(x) \frac{\partial}{\partial x} + e(a) \frac{\partial}{\partial a} \in T^2_xM \ ? $$

Тогда диф. оператор второго порядка $Z_x$ не попадает в $T^2_xM$.

[CptPwnage]

Скорее всего это тензорный квадрат касательного расслоения и прямая сумма касательного и тензорного квадрата касательного соответственно

[DeBill]

Divergence

Divergence в сообщении #1101643 писал(а):

$T^2M$ (

- что же это такое? Видимо, не случайно Вы не можете про это ничего найти. Может, это Ваше изобретение, которому Вы хотите придать смысл?
Мне представляется, что здесь имеется путаница в ЧЕТЫРЕХ различных возможных пониманиях этого дела.
1. (скорее всего) Вы говорите о касательном расслоении $T(TM)$, с локальными координатами $(\xi,\eta,x,a)$. Но тогда запись

Divergence в сообщении #1101643 писал(а):

$T^2_xM=T_x T_xM $

некорректна: надо писать $T_{(x,a)}(TM)$. Конечно, у нас есть проектирования $\pi : TM \to M, \pi :(x,a) \mapsto x$ и $\Pi : T(TM) \to TM, \Pi : (\xi,\eta,x,a) \mapsto (x,a) $. Так что можно насильно обозначить через $T^2_xM$ то, что спроектируется в точку $x$ при сквозном проектировании. Ланно. По размерностям: $M$ - одномерно, $TM$ - двумерно, $T_x M$ одномерно,$T(TM) $ четырехмерно, $T_{(x,a)} M$ двумерно, и (Ваше?) $T^2_x M$ трехмерно. НО: да, можно отождествить касательное пространство с пространством дифференциальных операторов первого порядка. Вот только не надо насильно распространять это отождествление слишком далеко. Или, - ну если очень хочется - делать это аккуратно. Обратите внимание: на Вашем $T^2_x M$ нет естественной структуры векторного пространства: точки $(\xi,\eta,a)$ и $(\xi_1,\eta_1,a_1)$ при $a \ne a_1$ лежат в разных касательных пространствах, их нельзя складывать - если не позаботиться о каком-либо способе переноса векторов (т.е., ввести "связность"). Но если таки такое отождествление (касательных пространств в разных точках) провести, то НИЗЯ отождествлять базисный вектор $\frac{\partial}{\partial x}$ - из $T_x M$ и базисный вектор $\frac{\partial}{\partial x}$ - из $T_{(x,a)} TM$ - это разные объекты.
2. Речь идет о $(T_x M)^2$ . Тогда оно - двумерно.
3. Вы говорите о тензорном квадрате $T_x M \otimes T_x M$. Тогда - одномерно.
4. Может, рассматривается пространство 2-струй $J_x^2 M$ в точке $x$? Тогда - трехмерно

[Divergence]

Спасибо за подробные разъяснения. Однако мои непонятки остались.

По поводу моих "обозначений" - это просто неаккуратно написал. Имел ввиду $T^1_xM$ при $M=\mathbb{R}^1$ ...

Не могу разобраться, куда следует относить следующие дифф. операторы при $M=\mathbb{R}^1$:

$$Y_x := a (x) \, \frac{\partial^1}{\partial x^1} , \quad Y_x := b (x) \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} , \quad Z_x := a (x) \, \frac{\partial}{\partial x} +b (x) \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} . $$

к $T^1_xM$, $T^2M$ $J^1_xM$, $J^2_xM$ при $M=\mathbb{R}^1$ ?

Для струй (джетов) смущает, что джет функции представим отрезком ряда Тейлора
Цитата из англ википедии https://en.wikipedia.org/wiki/Jet_%28mathematics%29
Suppose that $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ is a real-valued function having at least k+1 derivatives in a neighborhood U of the point $x_0$. Then by Taylor's theorem,

$$f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^{k}+\frac{R_{k+1}(x)}{(k+1)!}(x-x_0)^{k+1}$$

where $|R_{k+1}(x)|\le\sup_{x\in U} |f^{(k+1)}(x)| $. Then the k-jet of f at the point x_0 is defined to be the polynomial

$$(J^k_{x_0}f)(z) =f(x_0)+f'(x_0)z+\cdots+\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}z^k .$$

Первая (но не главная) непонятка: Куда в этом представлении девается трехмерность $J^2_xM$ ? Переменная вроде всего одна $z$ ? (Хотя читал, что координатами k-струи функции являются $(f(x_0),f'(x_0), ... \cdots f^{(k)}(x_0))$)

Главный вопрос: Если джет функции представим отрезком ряда Тейлора, то правильно ли, что

$$(J^1_{x}f)(x) = x \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

$$(J^2_{x}f)(x) = \frac{x^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + x \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

и тогда можно написать

$$X_x f(x)= a (x) \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} = \frac{a(x)}{x} ( (J^1_{x}f)(x)-(J^0_xf)(x) ),$$

$$Y_x f(x)= b (x) \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} = \frac{2\, b(x)}{x^2} ( (J^2_{x}f)(x)-(J^1_xf)(x) )$$

или я где-то опять ошибаюсь?
Можно ли тем самым сказать, что $X_xf \in J^1_xM$, в то время как $Y_xf,Z_xf \in J^2_xM$ при $M=\mathbb{R}^1$ ?

[DeBill]

Divergence

Divergence в сообщении #1101717 писал(а):

куда следует относить

Первое (условно) - к $TM$, второе и третье - к никуда...
Точнее: при каждом фиксированном $x$, (первый из) $Y_x$ лежит в $T_x M$. Или : это - сечение касательного расслоения.

Divergence в сообщении #1101717 писал(а):

Куда в этом представлении девается трехмерность $J^2_xM$ ? Переменная вроде всего одна $z$ ? (Хотя читал, что координатами k-струи функции являются $(f(x_0),f'(x_0), ... \cdots f^{(k)}(x_0))$)

Ну вот же она: при $k=2$ как раз и будет трехмерность.

Divergence в сообщении #1101717 писал(а):

правильно ли, что

Неправильно. В аглицком определении струи, переменная $z$ - чисто формальная (и она исчезает при рассмотрении координатного представления), так что ее ни в коем разе не следует смешивать с переменной $x$ - координатой на многообразии. Потому уже запись $(J^1_x f)(x)$ не корректна (и все последующие - тоже).

[Divergence]

Спасибо за пояснение. Однако, в англ википедии есть примеры
https://en.wikipedia.org/wiki/Jet_%28mathematics%29
Examples: In one-dimension, let $f(x)=\log(1-x)$ and $g(x)=\sin\,x$. Then

$$(J^3_0f)(x)=-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3} \quad (J^3_0g)(x)=x-\frac{x^3}{6}.$$

Они корректны? там $f(x)$ и $(J^3_0f)(x)$ от одной и той же переменной $x$.
Если примеры корректны, то почему нельзя рассматривать $z=x \in \mathbb{R}^1$ ?

Если примеры корректны, то можно же записать, например

$$(J^1_{x}f)(x-x_1) = (x-x_1) \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x)$$

$$(J^2_{x}f)(x-x_1) = \frac{(x-x_1)^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + (x-x_1) \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

где $x,x_1 \in \nathbb{R}^1$.

[DeBill]

Divergence
Примеры из Вики - корректны.
Ваши - чисто формально - тоже (ну, не считая опечатки, видимо, в последней формуле: вместо $x$ надо $x-x_0$). Но какая с этого радость? Вместо формальной переменной $z$ появилась другая - не менее формальная - $x_0$. Я пока не понимаю, что Вы хотите.

-- 24.02.2016, 14:53 --

А, исправили. И?

[Divergence]

Если $z$ абстрактная переменная, то насколько я понял корректны выражения

$$(J^1_{x}f)(z) = z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

$$(J^2_{x}f)(z) = \frac{z^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

1) Корректны ли следующие выражения ? (можно ли складывать джеты функций?)

$$(J^2_{x}f)(z) -(J^1_{x}f)(z) = \frac{z^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$

$$(J^1_{x}f)(z)-(J^0_{x}f)(z) = z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} $$

2) Корректны ли следующие выражения ? (можно ли делить и умножать джеты функций, аналогично операциям с абстрактными многочленами?)

$$ 2 z^{-2}( (J^2_{x}f)(z) -(J^1_{x}f)(z))= \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$

$$ z^{-1} ((J^1_{x}f)(z)-(J^0_{x}f)(z)) = \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} $$

3) "не абстрактная" $x \in \mathbb{R}$ это точка на "многообразии" $M=\mathbb{R}$,
а абстрактная $x_1 \in \mathbb{R}$ (или $x_0 \in \mathbb{R}$ ) это другая точка "многообразии" $M=\mathbb{R}$,
но эти точки можно складывать и умножать,
поскольку $\mathbb{R}$ наделено естественной структурой поля действительных чисел.
или я ошибаюсь.


Можно ли считать (на основании сказанного), что правый части выражений

$$(J^2_{x}f)(x-x_1) -(J^1_{x}f)(x-x_1) = \frac{(x-x_1)^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2}$$

$$(J^1_{x}f)(x-x_1)-(J^0_{x}f)(x-x_1) = (x-x_1) \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} $$

где $x,x_1 \in \nathbb{R}^1$, принадлежат $J^2_xM$ и $J^1_xM$ для $M=\mathbb{R}$,
поскольку они равны левым частям.

[DeBill]

Divergence в сообщении #1101739 писал(а):

насколько я понял корректны выражения

Да.

Divergence в сообщении #1101739 писал(а):

1) Корректны ли следующие выражения ? (

Нет. Эти объекты лежат в разных пространствах. Связь между ними есть: корректно определено проектирование "большего" на "меньшее" ("забывание" старших производных). Но это неинтересно: забыв у 2-струи члены второго порядка, мы получим в точности 1-струю, так что разность ваша будет равна 0. Можно, наоборот, пытаться продолжать 1-струю до 2-струи. Но это не делается никаким разумным (я имею ввиду - инвариантным) способом. Но уж если Вы совершите такое насилие - помните об этом. И отдавайте себе отчет в том, что способ этот будет обязательно привязан к неоторой координатной системе; в других координатах он будет совершенно иным.

Divergence в сообщении #1101739 писал(а):

2) Корректны

Нет, как было сказано выше. Однако струи ОДНОГО порядка РАЗНЫХ функций складывать -(и даже умножать - делить - при условии, что надо отбрасывать члены с "неправильными" степенями $z$) - можно.
3/

Divergence в сообщении #1101739 писал(а):

поскольку $\mathbb{R}$ наделено естественной структурой

. Которое из этих двух $\mathbb{R}$ ? Если речь о точках многообразия - да, можно, но будет это совсем другой коленкор, и вопрос тогда надо рассматривать с точки зрения групп Ли. Если о другом - то -э, тоже можно, но зачем? И обратите внимание на алгебраическую структуру в вашем пространстве 2-струй: $z\cdot z = z^2$, но $z^2 \cdot z^2 = 0$...

[Divergence]

Спасибо за пояснения.

1) Насколько я понял, левая и правая части

$$(J^2_{x}f)(z) = \frac{z^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

принадлежат $J^2_xM$ где $M=\mathbb{R}$. Надеюсь тут то я не сделал ошибочного заключения.

2) Можно ли в формуле

$$(J^2_{x}f)(z) = \frac{z^2}{2} \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} +f(x) $$

вместо $1/n!$ использовать другие произвольные числовые коэффициенты. Например,

$$(J^2_{x}f)(z) = a_2 z^2 \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + a_1 \, z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} + a_0 \, f(x) $$

и будет ли такое выражение принадлежать $J^2_xM$ где $M=\mathbb{R}$?

$$(J^3_{x}f)(z) = a_3 z^3 \, \frac{\partial^3 f(x)}{\partial x^3} + a_2 z^2 \, \frac{\partial^2 f(x)}{\partial x^2} + a_1 \, z \, \frac{\partial^1 f(x)}{\partial x^1} + a_0 \, f(x) $$

а будет ли такое выражение принадлежать $J^3_xM$ где $M=\mathbb{R}$?

Видел в книге (Совр. проб. матем. Фунд. направления том 28 "Основные понятия и идеи диф. геом." стр.149),
что строки $(f(x), (\partial_x f)(x), ..., (\partial^n_x f)(x))$ называются n-струями функции в точке $x$
правда их обозначили $[f]^n_x$ в отличие от википедии, использующей $(J^n_xf)(z)$.
А ведь строку можно умножить не на столбец вида $(z,z^2/2,... ,z^n/n!)^t$, а на столбец $(a_0,a_1 z,... ,a_nz^n)^t$, где все $a_k \in \mathbb{R}$.
Или опять таки ошибаюсь?
Если не ошибаюсь и так можно рассматривать, то как это умножение формализовано: $n$-струя скалярно умножается $n$-мерный вектор ? В этой книге не написано.

[DeBill]

А, я не дочитал Ваш пост до конца. И теперь вижу еще один источник возможных непоняток.
Итак, что есть $J^2 M$? Для $M=R$, можно считать, что это $R^4$, с координатами $(x,y,t,u)$, естественным проектированием $(x,y,t,u) \to (y,t,u)$ и слоями $R^3 =\{(y,t,u) \}$. Удобно (см. ниже) отождествить слои $R^3$ с многочленами второй степени $(y,t,u) \sim y + t \cdot z + u \cdot z^2$ . Сечения этого расслоения - просто отображения, которые каждой точке $x$ из базы ставят в соответствие точку слоя. И нету тут пока никаких $f$. Однако, они появятся, если среди всех сечений выделить "хорошие". Именно, если $f$ вещественная функция на базе, то в каждой точке базы у нее есть 2-струя в этой точке - вот и получилось сечение. Пример: $f(x) = x^7$, соответствует сечение $F(x) = (x^7, 7x^6, 21x^5)$.
Не все сечения - хорошие : $S(x) = (x^2,x,7)$ - нехорошее. Сечения можно складывать и умножать (поточечно, т.е., в каждой точке). Если слои понимать как многочлены, то - для хороших сечений - кое-что сохранится . Ну вот, в рамках такого описания и попробуйте формулировать свои вопросы...
А, новый пост появился, счас посмотрю

-- 24.02.2016, 16:38 --

Divergence в сообщении #1101762 писал(а):

2) Можно ли в формуле

Можно. Но тогда испортится правило $(j_x^k (fg))(z) = (j_x^k f) (z) \cdot (j_x^k g)(z)$ (оно, впрчем, и так не совсем хорошо - ибо умножение надо выполнять в "алгебре срезанных многочленов степени не выше 2" )

-- 24.02.2016, 16:47 --

Divergence в сообщении #1101762 писал(а):

можно умножить

Можно. Уже отвечено, чем это плохо. Формально: Все линейные пространства размерности 3 изоморфны $R^3$. Так что в качестве образцового можно взять пространство многочленов от переменной $z$, с соответствием $(y,t,u) \to y +tz +uz^2$. А можно - с другим: $(y,t,u) \to 3y +17tz +2016uz^2$. Линейности (сумме соответствует сумма) это не мешает..
Пока - мне надо уходить...