Вторые производные и T^2M где M=R^1 ?

[Divergence]

Спасибо.
А почему это можно? В соответствии с вашим постом сечение будет плохим "нехорошим".
Или вы имели ввиду, что это можно делать только при отождествлении слоев $R^3$ с многочленами второй степени, а не с функцией?
А для функция нельзя?
И как это можно делать? Как я попытался написать - через произведение строки и столбца?

[DeBill]

Divergence в сообщении #1101768 писал(а):

сечение будет плохим "нехорошим".

Если сечение строится по функции, по плану: считаем ее производные порядка 0,1 и 2, и назначаем полученной тройке что-то (в соответствии с выбранным отождествлением для $R^3$) - сечение будет хорошим, по определению хорошего.

Divergence в сообщении #1101768 писал(а):

как это можно делать? Как я попытался написать - через произведение строки и столбца?

Ну да - потому что все отождествления имеют такой вид. Одно только будет плохо (я повторяюсь) - при отождествлении каком попало, потеряется свойство "сохранение умножения", хотя бы и в кастрированном виде.

Divergence в сообщении #1101768 писал(а):

это можно делать только при отождествлении слоев $R^3$ с многочленами второй степени, а не с функцией?
А для функция нельзя?

А вот об этом я как раз и говорил: слои состоят не из каких-то там фуенкций; слои состоят из точек (векторов) трехмерного пространства....
Кажется, я догадываюсь, что вам на самом деле нужно: Вас интересуют пучки ростков, да?

[Divergence]

Возможно интересует именно это - пучки ростков. Но то пока сам об этом не знаю.

В общих словах, интересует геометрический смысл (геометрическая интерпретация) диф. операторов
с точки зрения современной теории, но записанный для простейшего случая операторов таких как

$$ X_x := a (x) \, \frac{\partial}{\partial x}, \quad Y_x := b (x) \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} , $$

$$ Z_x := a (x) \, \frac{\partial}{\partial x} +b (x) \, \frac{\partial^2}{\partial x^2} $$

действующих на вещественно-значные функции на $\mathbb{R}$, например, аналитические или $C^{\infty}(\mathbb{R})$; где $a(x), b(x)$, например, мономы по $x \in \mathbb{R}$.

Интересна геометрическая интерпретация операторов (или их действия на функции)

$$ V_x := \sum^n_{k=0} a_k \, \frac{x^k}{k!} \frac{\partial^k}{\partial x^k} . $$

где $a_k \in \mathbb{R}$ - некоторые числовые множители.

[Munin]

Divergence в сообщении #1101729 писал(а):

Однако, в англ википедии есть примеры
https://en.wikipedia.org/wiki/Jet_%28mathematics%29

Был вот такой вот сайт:
http://ncatlab.org/nlab/show/jet+bundle
Щас он чё-то не работает, но можно посмотреть
http://web.archive.org/web/*/http://ncatlab.org/nlab/show/jet+bundle
например.

[Divergence]

Спасибо за ссылку.
Сейчас сайт (https://ncatlab.org/nlab/show/jet+bundle) заработал.
Однако, простенького (для $f^{(n)}(x)$ для $\mathbb{R}^1$) там немного.

[DeBill]

Divergence
Когда мы говорим о геометрической интерпретации чего-либо, то имеем ввиду сопоставление этому объекту нечто реальное. Потому о геометрической интерпретации можно говорить только для объектов, реально существуюших. Под этим я понимаю "существующих вне зависимости от всяких внешних прибамбасов - типа систем координат". Так что геометрическую интерпретацию можно придать лишь инвариантным вещам - т.е., тем, которые можно определить бескоординатно. В этом смысле ваш диф. оператор первого порядка - существует, а второй - нет (в силу инвариантности/неинвариантности первого/второго дифференциалов). Так что с первым оператором проблем нет - ему соответствует векторное поле, со вторым - есть, а третий - совсем плохой.
Все сказанное не убивает напрочь идею о поиске геом. интерпретации; просто надо искать ее в мире иных (загробных?) сущностей, привлекая их сверх необходимого: связности, ковариантное дифференцирование, и т.п.

[Munin]

Divergence

(Оффтоп)

Завидую. У меня чего-то ну никак не работает.

[Divergence]

Спасибо за философский опус. Однако "нечто реальное" не эквивалентно "инвариантности вещи". Мы сами не инвариантные вещи.

Вашы замечания о джетах, по-моему, близки к желаемому, но "не реальному геометрическому смыслу":
порядкам касания графиков (сечений).

-- 24.02.2016, 21:42 --

А почему вы решили, что мне интересны именно пучки ростков?
Где это светится в постах?
И что это такое в моей ситуации $\mathbb{R}^1$?
Мне не понятна "игра" с окрестностями в определении пучков, и как её кушать в моей ситуации?

[DeBill]

Divergence в сообщении #1101835 писал(а):

Спасибо за философский опус.

Ну да, струи, по Арнольду, так и надо определять - через классы эквивалентности для порядка касания. Но моя философия относилась не к джетам (они - существуют), а к диф. операторам второго порядка. Вот чтобы они существовали - и нужны потусторонние вещи.

Divergence в сообщении #1101835 писал(а):

А почему вы решили, что мне интересны именно пучки ростков?

Ну, вам, вроде, хотелось, чтобы слоями были как раз сами функции, а не их обрезки - джеты...
Посмотрите литературу по алгебраической геометрии - только, не дай бог, французов - сразу крыша уедет...

[Divergence]

А где у Арнольда можно почитать о струях?
Читал про струи как классы эквивалентности для порядка касания по книгам Виноградова и Со.

[DeBill]

Divergence
Арнольд и Со, Особенности дифференцируемых отображений, стр. 29-31. Можно еще посмотреть параграф 3 - там как раз работают с квадратичным дифференциалом, и становится понятнее вся его поганость , ибо зело неинвариантен он. А можно и четвертый посмотреть - там есть про локальное кольцо особенности и алгебру срезанных многочленов...

[Divergence]

Спасибо