2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение11.02.2016, 23:48 


25/11/08
449
Пусть $\xi \in \mathbb{C}$ и $|\xi|=1$.

По индукции определим однозначный двоичный корень $\sqrt[2^n] \xi$, всякий раз выбирая значение корня из верхней полуплоскости следующим образом.

При $n=1$ выбираем значение корня $\sqrt[2] \xi$ из верхней полуплоскости.
Если уже найден $\sqrt[2^n] \xi = \eta$, то $\sqrt[2^{n+1}] \xi$ положим равным значению корня $\sqrt[2] \eta$ из верхней полуплоскости.

Верно ли, что $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[2^n] \xi = 1$? И как это доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение11.02.2016, 23:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Не очень ясно, что значит "из верхней полуплоскости" при $\xi = 1,-1$, например. Ну а так-то у нас аргумент по формуле Муавра на каждой итерации кроме, быть может, первой, вдвое уменьшается, а модуль остаётся неизменным.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 00:10 


25/11/08
449
kp9r4d в сообщении #1098775 писал(а):
Не очень ясно, что значит "из верхней полуплоскости" при $\xi = 1,-1$, например
С $-1$ проблем нет, корни $\pm i$ и в верхней полуплоскости только один. А для $1$ верно заметили. Тогда положим сразу по определению $\sqrt[2^n] 1 = 1$.

kp9r4d в сообщении #1098775 писал(а):
Ну а так-то у нас аргумент по формуле Муавра на каждой итерации кроме, быть может, первой, вдвое уменьшается, а модуль остаётся неизменным.
Вообще, я пытаюсь аксиоматически определить тригонометрические функции $\cos$ и $\sin$ как компоненты непрерывного нетривиального гомоморфизма из группы $(R,+)$ в ортогональную группу вращений $SO(2)$ или, что то же самое, в группу комплексных чисел с модулем $1$ по умножению. Поэтому нельзя опираться на формулу Муавра и тригонометрические функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 00:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
ellipse в сообщении #1098780 писал(а):
С $-1$ проблем нет, корни $\pm i$

Да, протупил слегка.
ellipse в сообщении #1098780 писал(а):
Пытаюсь построить гомоморфизм из $(\mathbb{R},+)$ в группу $S$, где $S$ группа комплексных чисел с модулем $1$ по умножению. Поэтому нельзя опираться на формулу Муавра. Тригонометрии, косинуса и синуса у нас тоже пока нет.

Ну нельзя, тогда ничто не мешает явно решить систему и выписать корни в радикалах. Для вашего случая получится, что если $z = c+di$ то $\sqrt{z} = \sqrt{\frac{1+c}{2}} + i \frac{d}{|d|}\sqrt{\frac{1-c}{2}} = \sqrt{\frac{1+c}{2}} + i \sqrt{\frac{1-c}{2}}$, увидеть, что последовательность вещественных чисел $x_{n+1} = \sqrt{\frac{1+x_n}{2}}$ сходится к единице, будучи начатой с $|x_0|\leqslant 1$ не так уж сложно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 01:49 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(Оффтоп)

ellipse в сообщении #1098780 писал(а):
А для $1$ верно заметили. Тогда положим сразу по определению $\sqrt[2^n] 1 = 1$.
Кстати, можно сразу взять «полуоткрытую» (неудачное название, согласен) полуплоскость $\{ re^{i\varphi} : r\geqslant0, \varphi\in[0;\pi) \}$. Покрывает всё одним махом!

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 09:26 


25/11/08
449
Еще нужно доказать свойства:
1) $\sqrt[2^n]{ab}=\sqrt[2^n]{a}\sqrt[2^n]{b}$;
2) $\sqrt[2^{n+m}]{a}=\sqrt[2^m]{\sqrt[2^n]{a}}$.
Похоже, что равенства верны только слева направо.
Например, если $\sqrt[2^n]{ab}$ однозначный двоичный, то он представляется в виде произведения однозначных двоичных корней $\sqrt[2^n]{a}$ и $\sqrt[2^n]{b}$. Обратное, вообще говоря, не верно: произведение однозначных двоичных корней $\sqrt[2^n]{a}$ и $\sqrt[2^n]{b}$ не обязано лежать в верхней полуплоскости и быть однозначным двоичным корнем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 09:42 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ellipse в сообщении #1098773 писал(а):
Верно ли, что $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[2^n] \xi = 1$?

Представьте число в показательной форме и сам корень тоже запишите как операцию возведения в степень. Дальше, очевидно, предел = 1 (я предполагаю, что $\sqrt{1}=1$). Условие $|\xi|=1$ можно сильно ослабить до $|\xi|\neq 0$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 09:58 


25/11/08
449
Sonic86 в сообщении #1098807 писал(а):
Представьте число в показательной форме и сам корень тоже запишите как операцию возведения в степень.
Нельзя в показательной.

 Профиль  
                  
 
 Re: Предел двоичного корня из комплексного числа
Сообщение12.02.2016, 10:56 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
ellipse в сообщении #1098809 писал(а):
Sonic86 в сообщении #1098807 писал(а):
Представьте число в показательной форме и сам корень тоже запишите как операцию возведения в степень.
Нельзя в показательной.
ellipse в сообщении #1098780 писал(а):
А для $1$ верно заметили. Тогда положим сразу по определению $\sqrt[2^n] 1 = 1$.
Так может у Вас все-таки определение кривое?
Может сразу взять $\sqrt{\xi} := \sqrt{|\xi|}\exp\frac{2\pi i \arg \xi}{2}$ при $\xi \neq 0$, чтобы не расписывать частные случаи? Или реально есть хотя бы одно $\xi$, у которого $\sqrt{\xi}$ не равен числу, выписанному выше?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group