Предел двоичного корня из комплексного числа

[ellipse]

Пусть $\xi \in \mathbb{C}$ и $|\xi|=1$.

По индукции определим однозначный двоичный корень $\sqrt[2^n] \xi$, всякий раз выбирая значение корня из верхней полуплоскости следующим образом.

При $n=1$ выбираем значение корня $\sqrt[2] \xi$ из верхней полуплоскости.
Если уже найден $\sqrt[2^n] \xi = \eta$, то $\sqrt[2^{n+1}] \xi$ положим равным значению корня $\sqrt[2] \eta$ из верхней полуплоскости.

Верно ли, что $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[2^n] \xi = 1$? И как это доказать?

[kp9r4d]

Не очень ясно, что значит "из верхней полуплоскости" при $\xi = 1,-1$, например. Ну а так-то у нас аргумент по формуле Муавра на каждой итерации кроме, быть может, первой, вдвое уменьшается, а модуль остаётся неизменным.

[ellipse]

kp9r4d в сообщении #1098775 писал(а):

Не очень ясно, что значит "из верхней полуплоскости" при $\xi = 1,-1$, например

С $-1$ проблем нет, корни $\pm i$ и в верхней полуплоскости только один. А для $1$ верно заметили. Тогда положим сразу по определению $\sqrt[2^n] 1 = 1$.

kp9r4d в сообщении #1098775 писал(а):

Ну а так-то у нас аргумент по формуле Муавра на каждой итерации кроме, быть может, первой, вдвое уменьшается, а модуль остаётся неизменным.

Вообще, я пытаюсь аксиоматически определить тригонометрические функции $\cos$ и $\sin$ как компоненты непрерывного нетривиального гомоморфизма из группы $(R,+)$ в ортогональную группу вращений $SO(2)$ или, что то же самое, в группу комплексных чисел с модулем $1$ по умножению. Поэтому нельзя опираться на формулу Муавра и тригонометрические функции.

[kp9r4d]

ellipse в сообщении #1098780 писал(а):

С $-1$ проблем нет, корни $\pm i$

Да, протупил слегка.

ellipse в сообщении #1098780 писал(а):

Пытаюсь построить гомоморфизм из $(\mathbb{R},+)$ в группу $S$, где $S$ группа комплексных чисел с модулем $1$ по умножению. Поэтому нельзя опираться на формулу Муавра. Тригонометрии, косинуса и синуса у нас тоже пока нет.

Ну нельзя, тогда ничто не мешает явно решить систему и выписать корни в радикалах. Для вашего случая получится, что если $z = c+di$ то $\sqrt{z} = \sqrt{\frac{1+c}{2}} + i \frac{d}{|d|}\sqrt{\frac{1-c}{2}} = \sqrt{\frac{1+c}{2}} + i \sqrt{\frac{1-c}{2}}$, увидеть, что последовательность вещественных чисел $x_{n+1} = \sqrt{\frac{1+x_n}{2}}$ сходится к единице, будучи начатой с $|x_0|\leqslant 1$ не так уж сложно.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ellipse в сообщении #1098780 писал(а):

А для $1$ верно заметили. Тогда положим сразу по определению $\sqrt[2^n] 1 = 1$.

Кстати, можно сразу взять «полуоткрытую» (неудачное название, согласен) полуплоскость $\{ re^{i\varphi} : r\geqslant0, \varphi\in[0;\pi) \}$. Покрывает всё одним махом!

[ellipse]

Еще нужно доказать свойства:
1) $\sqrt[2^n]{ab}=\sqrt[2^n]{a}\sqrt[2^n]{b}$;
2) $\sqrt[2^{n+m}]{a}=\sqrt[2^m]{\sqrt[2^n]{a}}$.
Похоже, что равенства верны только слева направо.
Например, если $\sqrt[2^n]{ab}$ однозначный двоичный, то он представляется в виде произведения однозначных двоичных корней $\sqrt[2^n]{a}$ и $\sqrt[2^n]{b}$. Обратное, вообще говоря, не верно: произведение однозначных двоичных корней $\sqrt[2^n]{a}$ и $\sqrt[2^n]{b}$ не обязано лежать в верхней полуплоскости и быть однозначным двоичным корнем.

[Sonic86]

ellipse в сообщении #1098773 писал(а):

Верно ли, что $\displaystyle\lim_{n\to \infty} \sqrt[2^n] \xi = 1$?

Представьте число в показательной форме и сам корень тоже запишите как операцию возведения в степень. Дальше, очевидно, предел = 1 (я предполагаю, что $\sqrt{1}=1$). Условие $|\xi|=1$ можно сильно ослабить до $|\xi|\neq 0$.

[ellipse]

Sonic86 в сообщении #1098807 писал(а):

Представьте число в показательной форме и сам корень тоже запишите как операцию возведения в степень.

Нельзя в показательной.

[Sonic86]

ellipse в сообщении #1098809 писал(а):

Sonic86 в сообщении #1098807 писал(а):

Представьте число в показательной форме и сам корень тоже запишите как операцию возведения в степень.

Нельзя в показательной.

ellipse в сообщении #1098780 писал(а):

А для $1$ верно заметили. Тогда положим сразу по определению $\sqrt[2^n] 1 = 1$.

Так может у Вас все-таки определение кривое?
Может сразу взять $\sqrt{\xi} := \sqrt{|\xi|}\exp\frac{2\pi i \arg \xi}{2}$ при $\xi \neq 0$, чтобы не расписывать частные случаи? Или реально есть хотя бы одно $\xi$, у которого $\sqrt{\xi}$ не равен числу, выписанному выше?