Наверное это как-то можно обойти.
Можно. Просто не надо возводить второе неравенство в степень при

, т.к. в этом случае уже исходное неравенство тривиально.
Что касается доказательства. Использовать производные не то чтобы нельзя, но не очень спортивно. А насчёт индукции -- речь фактически идёт о монотонном возрастании последовательности

. Ну так она доказывается ровно так же, как и монотонность классической последовательности

из определения основания натуральных логарифмов:


А это уже обычный, целочисленный Бернулли:

, верный при всех

(кроме

, естественно, когда равенство). В нашем случае это означает

, что, собственно, исходным требованием и является.