Я отвечу на Ваш вопрос, но сначала скажите, о доказательстве чего идёт речь?
А все то, что следует за предположением о существовании тройки решения.
Из этого предположения, во-первых, следует, что идеал
![$(x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2)$ $(x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/2/8d25f251743863cab4a03611083ffde582.png)
является квадратом другого идеала кольца целых алгебраических чисел поля
![$\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$ $\mathbb{Q}[\sqrt[n]{2}]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/1/c/91c267aa7287b46623e205d06ffb45d082.png)
.
Это утверждение имеет смысл только если число
![$x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2$ $x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/3/893efb155db88e9ee07b36c91b29d53e82.png)
принадлежит этому кольцу, то есть, если

и

- целые числа.
Из того, что идеал
![$(x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2)$ $(x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/d/2/8d25f251743863cab4a03611083ffde582.png)
является квадратом другого идеала и единственности разложения на простые множители в упомянутом кольце следует равенство
![$x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2=u \alpha^2$ $x^2-yz (\sqrt[n]{2})^2=u \alpha^2$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/7/9/979215778190a74fbe1a6d131f13491682.png)
, где

- делитель единицы упомянутого кольца, и

- целое алгебраическое число этого кольца.
Из этого равенства и закона квадратичной взаимности в упомянутом кольце следует, что

является квадратом другого делителя единицы.
В доказательстве этого используется то, что целое число

делится на

, а целое число

сравнимо с

по модулю

.
Таким образом, начальное условие, что числа

- целые играет в этих рассуждениях важную роль.