2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 15:59 


03/02/16
8
Столкнулся с вроде бы тривиальной задачей по планиметрии, которую в будущем нужно будет обобщать, но что-то пошло не так.
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
a^2 = x^2 + y^2 + xy\\
b^2 = x^2 + z^2 + xz\\
c^2 = y^2 + z^2 + yz\\
\end{array}
\right.$$
где $a,b,c,x,y,z \geqslant 0$. Нужно разрешить систему аналитически относительно ${x,y,z}$. Простые методы ничего внятного не дали, озадачивание Mathematic'и или Mapl'a тоже.

Если внимательно присмотреться, то видно, что система получена путём применения теоремы косинусов к треугольнику в специфическом аффинном базисе. Исходная задача - из точки выходят три луча, между ними углы в $\frac{2\pi}{3}$. На каждом луче выбрана точка. Очевидно, если эти точки последовательно соединить - будет треугольник. Расстояния между последовательно соединёнными точками известно, т.е. стороны треугольника известны. Нужно найти расстояния от исходной точки до вершин треугольника по сторонам.

Буду благодарен за любые конструктивные идеи, что с этим можно дальше делать)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 17:16 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
Иными словами, дан треугольник, и надо найти точку внутри него такую, что стороны из неё видны под углом $\frac{2\pi i}{3}$ (надеюсь, правильно сказал?).
Пусть треугольник у нас в комплексной плоскости, его вершины - $a,b,c$ (против часовой стрелки). Тогда множество точек $z$ внутри треугольника, удовлетворяющих условию "сторона $ab$ видна под углом $\frac{2\pi i}{3}$" задаётся уравнением $$(z-b)=C_1 e^{\frac{2\pi i}{3}} (z-a),$$ где $C_1$ - положительный вещественный параметр (у нашего треугольника все углы меньше $\frac{2\pi i}{3}$ по построению, поэтому это верно). Аналогично со стороной $bc$: $$(z-c)=C_2 e^{\frac{2\pi i}{3}} (z-b).$$ Нужно найти пересечение этих кривых (двух достаточно).
Для удобства можно разместить треугольник так, что $a=0, b\in \mathbb{R}$, ну а $c=p+iq$, никуда не денешься.
Далее, выражаем из обоих равенств $z$, приравниваем, получаем соотношение на неизвестные $C_1$ и $C_2$. Казалось бы, переменных две, но они вещественные и положительные. Выразив, например, $C_1$ через $C_2$ и записав условие положительности этого комплексного выражения, находим $C_2$.

Я проделал на бумаге, всё аналитически выражается.

P.S. Может, спецы что-нибудь попроще/поэлегантней знают, но мне и так понравилось :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 17:28 


03/02/16
8
NSKuber в сообщении #1096465 писал(а):
Иными словами, дан треугольник, и надо найти точку внутри него такую, что стороны из неё видны под углом $\frac{2\pi i}{3}$ (надеюсь, правильно сказал?).
Пусть треугольник у нас в комплексной плоскости, его вершины - $a,b,c$ (против часовой стрелки). Тогда множество точек $z$ внутри треугольника, удовлетворяющих условию "сторона $ab$ видна под углом $\frac{2\pi i}{3}$" задаётся уравнением $$(z-b)=C_1 e^{\frac{2\pi i}{3}} (z-a),$$ где $C_1$ - положительный вещественный параметр (у нашего треугольника все углы меньше $\frac{2\pi i}{3}$ по построению, поэтому это верно). Аналогично со стороной $bc$: $$(z-c)=C_2 e^{\frac{2\pi i}{3}} (z-b).$$ Нужно найти пересечение этих кривых (двух достаточно).
Для удобства можно разместить треугольник так, что $a=0, b\in \mathbb{R}$, ну а $c=p+iq$, никуда не денешься.
Далее, выражаем из обоих равенств $z$, приравниваем, получаем соотношение на неизвестные $C_1$ и $C_2$. Казалось бы, переменных две, но они вещественные и положительные. Выразив, например, $C_1$ через $C_2$ и записав условие положительности этого комплексного выражения, находим $C_2$.

Я проделал на бумаге, всё аналитически выражается.

P.S. Может, спецы что-нибудь попроще/поэлегантней знают, но мне и так понравилось :oops:


Спасибо, но интерпретация задачи немного не верна. Координаты точки нас не интересуют, углы между лучами уже $\frac{2\pi i}{3}$. Нужно найти такие отрезки лучей, чтобы стороны треугольника, построенные на концах отрезков, были заданными.

UPD: Специальными программами для построения не владею, поэтому вот рисунок в Paint :) Изображение

Стороны AB, BC, AC известны, углы BOA, BOC, AOC - $\frac{2\pi i}{3}$. Найти AO, BO, CO. Никаких координат нет, только длины.

P.S. Рисунок плоский.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 17:32 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
harati
Даны стороны треугольника. По ним находим координаты вершин в предложенном расположении. По ним координаты точки-центра с помощью техники, предложенной выше. Что мешает теперь вычислить длины отрезков, когда все координаты известны? Все шаги можно выразить явными формулами и получить выражение длин отрезков через известные длины сторон.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 17:36 


03/02/16
8
NSKuber в сообщении #1096475 писал(а):
harati
Даны стороны треугольника. По ним находим координаты вершин в предложенном расположении. По ним координаты точки-центра с помощью техники, предложенной выше. Что мешает теперь вычислить длины отрезков, когда все координаты известны? Все шаги можно выразить явными формулами и получить выражение длин отрезков через известные длины сторон.


Да, наверное ошибся с тем, что заранее не нарисовал картинку. В предыдущем сообщении уточнил условие. Варианты решения по прежнему неясны)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 17:51 
Заслуженный участник


26/10/14
380
Новосибирск
harati
Вариант-то уже есть - правда он громоздок и вы упорно отказываетесь его воспринимать.
Вот посмотрите на ваш же рисунок.
Давайте введём систему координат с началом в точке $A$ и осью абсцисс, содержащей сторону $AC$. Длины сторон знаем, значит можем найти координаты вершин в этой системе координат. А если в этой же системе координат теперь найдём точку $O$, то сможем и искомые длины легко найти! Точка $O$ - точка, из которой все стороны треугольника (достаточно двух) видны под углом $\frac{2\pi i}{3}$. Алгоритм нахождения координат такой точки я и предложил в своём первом сообщении этой темы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 17:53 


03/02/16
8
NSKuber в сообщении #1096483 писал(а):
harati
Вариант-то уже есть - правда он громоздок и вы упорно отказываетесь его воспринимать.
Вот посмотрите на ваш же рисунок.
Давайте введём систему координат с началом в точке $A$ и осью абсцисс, содержащей сторону $AC$. Длины сторон знаем, значит можем найти координаты вершин в этой системе координат. А если в этой же системе координат теперь найдём точку $O$, то сможем и искомые длины легко найти! Точка $O$ - точка, из которой все стороны треугольника (достаточно двух) видны под углом $\frac{2\pi i}{3}$. Алгоритм нахождения координат такой точки я и предложил в своём первом сообщении этой темы.


Да, упустил, спасибо. Но он действительно не подходит, так как в первом сообщении указал, что задачу нужно будет обобщать на старшие размерности - аналогичный аффинный базис но уже из 4х осей, 4 точки, на которые натянут тетраэдр.

Ваш способ, к сожалению, при обобщении становится непомерно громоздким.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 18:19 
Заслуженный участник


10/01/16
2290
harati
Вообще то это точка Торричелли (?): от нее сумма расстояний до вершин минимальна (в вершинах тр-ка сделаем дырки; пропустим через них веревочки; над столом веревочки свяжем; под столом к каждой подвесим единичную гирьку, и отпустим это дело. Когда всё устаканится, точка соединения веревочек и будет искомой: сумма сил равна нулю).
Известен геометрический способ её построения: в тр-ке $ABC$ надо точку $B$ повернуть (наружу) относительно $A$,получим точку $D$; На отрезке $DC$ надо найти точку $O$ так, что угол $AOD$ равен $\frac{\pi}{3}$ Это она и есть. Но - Вы правы, способ не обобщается...

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 18:27 
Заслуженный участник


03/01/09
1505
москва
Можно, например, взять разности уравнений:$$a^2-b^2=(y-z)(x+y+z), a^2-c^2=(x-z)(x+y+z)$$Отсюда $\dfrac {a^2-b^2}{a^2-c^2}=\dfrac {y-z}{x-z}$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 18:31 
Заслуженный участник


10/01/16
2290
harati

Всё у нас симметрично... Так, может, и делать через симметрические многочлены?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 21:25 
Заслуженный участник


25/02/11
1745
Математика выдает ответ, но здоровый... Если он и обобщится на старшие размерности, то будет еще здоровее :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение03.02.2016, 23:22 


03/02/16
8
DeBill в сообщении #1096502 писал(а):
harati
Вообще то это точка Торричелли (?): от нее сумма расстояний до вершин минимальна (в вершинах тр-ка сделаем дырки; пропустим через них веревочки; над столом веревочки свяжем; под столом к каждой подвесим единичную гирьку, и отпустим это дело. Когда всё устаканится, точка соединения веревочек и будет искомой: сумма сил равна нулю).
Известен геометрический способ её построения: в тр-ке $ABC$ надо точку $B$ повернуть (наружу) относительно $A$,получим точку $D$; На отрезке $DC$ надо найти точку $O$ так, что угол $AOD$ равен $\frac{\pi}{3}$ Это она и есть. Но - Вы правы, способ не обобщается...


Эта точка Торичелли когда треугольник не тупоугольный. Если тупоугольный - точка Торичелли будет лежать на вершине с тупым углом, а эта точка - вне самого треугольника.

mihiv в сообщении #1096505 писал(а):
Можно, например, взять разности уравнений:$$a^2-b^2=(y-z)(x+y+z), a^2-c^2=(x-z)(x+y+z)$$Отсюда $\dfrac {a^2-b^2}{a^2-c^2}=\dfrac {y-z}{x-z}$ и т.д.


Спасибо, разности я брал, но не совсем такие.

DeBill в сообщении #1096508 писал(а):
Всё у нас симметрично... Так, может, и делать через симметрические многочлены?


А что именно вы имеете ввиду ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение04.02.2016, 11:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12019
Казань
Можно найти линейное соотношение между неизвестными, используя формулу разности кубов. Но даст ли оно одно существенное продвижение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение04.02.2016, 12:18 
Заслуженный участник


10/01/16
2290
harati
harati в сообщении #1096598 писал(а):
Эта точка Торичелли когда треугольник не тупоугольный. Если тупоугольный

Ну да (точнее, если углы меньше 120). Но расчетные формулы, полученные из геометрического решения, видимо, выживут.
harati в сообщении #1096598 писал(а):
А что именно вы имеете ввиду ?

Ну, сосчитать симметрические многочлены от $a^2,b^2,c^2$, (точнее, от правых частей Вашей системы) и выразить их через элементарные от $x,y,z$. Может, получится приличная система для них ? (я не смотрел).

 Профиль  
                  
 
 Re: Аналитическое решение системы
Сообщение04.02.2016, 17:50 


03/03/12
1355
У меня получилось так:

$y=\frac{c^2+b^2-a^2-z^2}{2z}$

$x=\frac{a^2-b^2}{y-z}-(y+z)$

Умножить первое на(z), второе на (y); Вычесть из первого второе; находится $(x^2)$; приравниваете к $(x^2)$, найденному из второго и находите (x); приравниваете два значения для (x) и находите (yz); находите $(yz)$ из третьего уравнения и сложив их, находите $(y)$. Далее получаете уравнение от одной переменной, если я не ошиблась.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group