Функциональная производная

[TelmanStud]

Доброго дня Всем!

Рассмотрим функционал

$$W[\phi,\psi]=\int_{-\infty}^{+\infty}S(x)dx,$$

где $S(x)=\phi_x\psi_x$, причем для любых $\phi$ и $\psi$ удовлетворяющих моей задаче верно $S(x)=-S(-x)$ и $S(x\to\pm\infty)=0$. Следовательно, $W$ всегда ноль.
У меня вопрос в том, чему равно $\dfrac{\delta W}{\delta \phi}$? Нулю или $-\psi_{xx}$?
Спасибо заранее

[amon]

Есть такая полезная фишка:

$$ \frac{\delta F[f]}{\delta f(x)}=\lim\limits_{\varepsilon\to 0}\frac{1}{\varepsilon}(F[f+\varepsilon\delta(x)]-F[f]) $$

[TelmanStud]

amon
Так тут все зависит от того, что я возьму за $\delta(x)$

[amon]

TelmanStud в сообщении #1095083 писал(а):

что я возьму за $\delta(x)$

Возьмите дельта-функцию Дирака - не ошибетесь ;) (Виноват, не пояснил этого.)

[TelmanStud]

$$\frac{\delta W}{\delta \phi(y)}=\lim_{\epsilon \to 0}\frac{1}{\varepsilon}\int_{-\infty}^{+\infty}(\phi(x)+\varepsilon \delta(x-y))_x\psi_x(x)-\phi_x(x)\psi_x(x)dx=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta_x (x-y)\psi_x(x)dx$$

amon
А что дальше? По частям?

[alcoholist]

TelmanStud
да, к обычной дельта-функции

[TelmanStud]

Ок, всех благодарю!