2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задачи по планиметрии
Сообщение22.01.2016, 17:04 
Аватара пользователя


04/10/15
280
Доброго времени суток, уважаемые форумчане.
Задача: имеется параллелограмм $ABCD$, через точки $A$, $B$, $C$ проведена окружность, пересекающая прямую $BD$ в точке $E$ так, что $BE=9$. Еще $AB=3$, $BC=5$, найти диагональ $BD$.
Решение: проведем прямые $AE$, $EC$, тогда четырехугольник $BAEC$ вписан, откуда $\angle{ABC}+\angle{AEC}=\pi=\angle{BAE}+\angle{ECB}$. Поскольку четырехугольник вписан, то по первой теореме Птолемея следует, что $BE\cdot{AC}=AE\cdot{BC}+AB\cdot{CE}$
Но это ни к чему не привело (еще выражал косинус угла $\angle{ABC}$, но это тоже не помогло. Что делать дальше?
Заранее спасибо.
P.S. рисунки делать, к сожалению, не умею.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение22.01.2016, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
В молодости я вел "интенсив" по планиметрии в одной очень математической школе, решил в ней со школярами "стопицоттыщ" навороченных планиметрических задач, и ни в одной из них (ни в одной, Карл!) мне не понадобилась т. Птолемея!
И в этой задаче она не нужна, а нужны три факта:
1. диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам.
2. сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.
3. т. о пересекающихся хордах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение23.01.2016, 15:49 
Аватара пользователя


04/10/15
280
Brukvalub, действительно, совсем из головы вылетела теорема о пересекающихся хордах, спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение27.01.2016, 15:50 


04/03/15
48
Я попробовал сделать чертеж по условиям, описанням ТС.
Что-то я, видимо, в описании понял не так, т.к. при моем построении выполнение всех условий в принципе не возможно
(ну никак $BE=9$ не может быть)
Для наглядности я показал длины сторон параллелограма и величину радиуса окружности, построенной по 3-м точкам и величину $BE$ при таком построении.
Изображение

Что нужно изменить в чертеже?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение27.01.2016, 16:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
13909
timtam, попробуйте решить задачу: В фигуре такой-как-в-условии чему может равняться $|BE|$? И от чего эта длина зависит? Длины сторон параллелограмма не определяют его однозначно. Нужен ещё один параметр. И этот параметр, наверное, однозначно определяет и длину $BE$. Собственно, ответ к исходной задаче и отвечает на Ваш вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение27.01.2016, 17:36 


04/03/15
48
gris в сообщении #1094636 писал(а):
timtam, Собственно, ответ к исходной задаче и отвечает на Ваш вопрос.


Да. Совсем мозг не включил, когда вопрос задавал.
Для начала как примерно должен выглядеть чертеж
Изображение

Теперь введем следующие обозначения
$|AB|=a$, $|BC|=b$, $|BE|=e$, $|BD|=d$

Тогда воспользовавшись подсказками Brukvalub можно записать следующее равенство
$d=(a^2+b^2)/e$

Правильно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение27.01.2016, 18:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение28.01.2016, 14:35 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
timtam в сообщении #1094651 писал(а):
Правильно?

Нет. :-)
(куда-то двойку потеряли)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение28.01.2016, 17:01 


04/03/15
48
OlegCh в сообщении #1094812 писал(а):
timtam в сообщении #1094651 писал(а):
Правильно?

Нет. :-)
(куда-то двойку потеряли)


Вообще-то исходя из второго, правильного чертежа - ничто никуда не потерялось.
Некуда там просто двойку добавить :-)
Попробуйте сами еще раз посчитать.
Ну и опять же Brukvalub-у лично я доверяю больше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение29.01.2016, 09:43 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
timtam в сообщении #1094840 писал(а):
Ну и опять же Brukvalub-у лично я доверяю больше.

Да тут вопрос не в доверии, причем здесь, доверяю не доверяю. Это же геометрия, а не какая-нибудь там политология-болтология.

$AF\cdot FC=BF\cdot FE$

$\displaystyle \left (\frac{AC}{2}  \right )^{2}=\frac{BD}{2}\cdot \left (BE-\frac{BD}{2}  \right )$

$\displaystyle \frac{AC^{2}}{4}=\frac{BD\cdot BE}{2}-\frac{BD^{2}}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left (AC^{2}+BD^{2}  \right )=BD\cdot BE$

$\displaystyle BD=\frac{AC^{2}+BD^{2}}{2\cdot BE}$

Теперь верите?

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение29.01.2016, 09:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
OlegCh в сообщении #1094978 писал(а):
Теперь верите?

Вот теперь точно никто не поверит. Плохо, когда человек ошибается, но много хуже - когда упорствует в своей очевидной ошибке!

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение29.01.2016, 10:04 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
Покажите, пожалуйста, очевидную ошибку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение29.01.2016, 10:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/09/14
6321
OlegCh в сообщении #1094980 писал(а):
Покажите, пожалуйста, очевидную ошибку.
Так вот же:

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение29.01.2016, 10:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13620
Москва
OlegCh, жалея ваш "шаблон", который явно рвется в клочья, предлагаю вам всмотреться в обозначения, использованные timtam.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачи по планиметрии
Сообщение29.01.2016, 10:21 
Аватара пользователя


28/01/14
349
Москва
Стоп-стоп, шаблон тут ни при чем. Это я ошибся. Сам двойку забыл.
Надо $AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)$, а я это без двойки использовал: $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2$. Ну да, признаю, ступил. Старость не радость...

Кстати, ступил-то как раз из-за Вас :-) . Сами же в своем первом посте в п2 написали без двойки, а я и повелся, не удосужась вспомнить как следует.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group