Задачи по планиметрии

[iou]

Доброго времени суток, уважаемые форумчане.
Задача: имеется параллелограмм $ABCD$, через точки $A$, $B$, $C$ проведена окружность, пересекающая прямую $BD$ в точке $E$ так, что $BE=9$. Еще $AB=3$, $BC=5$, найти диагональ $BD$.
Решение: проведем прямые $AE$, $EC$, тогда четырехугольник $BAEC$ вписан, откуда $\angle{ABC}+\angle{AEC}=\pi=\angle{BAE}+\angle{ECB}$. Поскольку четырехугольник вписан, то по первой теореме Птолемея следует, что $BE\cdot{AC}=AE\cdot{BC}+AB\cdot{CE}$
Но это ни к чему не привело (еще выражал косинус угла $\angle{ABC}$, но это тоже не помогло. Что делать дальше?
Заранее спасибо.
P.S. рисунки делать, к сожалению, не умею.

[Brukvalub]

В молодости я вел "интенсив" по планиметрии в одной очень математической школе, решил в ней со школярами "стопицоттыщ" навороченных планиметрических задач, и ни в одной из них (ни в одной, Карл!) мне не понадобилась т. Птолемея!
И в этой задаче она не нужна, а нужны три факта:
1. диагонали параллелограмма делятся точкой их пересечения пополам.
2. сумма квадратов длин диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон.
3. т. о пересекающихся хордах.

[iou]

Brukvalub, действительно, совсем из головы вылетела теорема о пересекающихся хордах, спасибо!

[timtam]

Я попробовал сделать чертеж по условиям, описанням ТС.
Что-то я, видимо, в описании понял не так, т.к. при моем построении выполнение всех условий в принципе не возможно
(ну никак $BE=9$ не может быть)
Для наглядности я показал длины сторон параллелограма и величину радиуса окружности, построенной по 3-м точкам и величину $BE$ при таком построении.


Что нужно изменить в чертеже?

[gris]

timtam, попробуйте решить задачу: В фигуре такой-как-в-условии чему может равняться $|BE|$? И от чего эта длина зависит? Длины сторон параллелограмма не определяют его однозначно. Нужен ещё один параметр. И этот параметр, наверное, однозначно определяет и длину $BE$. Собственно, ответ к исходной задаче и отвечает на Ваш вопрос.

[timtam]

gris в сообщении #1094636 писал(а):

timtam, Собственно, ответ к исходной задаче и отвечает на Ваш вопрос.

Да. Совсем мозг не включил, когда вопрос задавал.
Для начала как примерно должен выглядеть чертеж


Теперь введем следующие обозначения
$|AB|=a$, $|BC|=b$, $|BE|=e$, $|BD|=d$

Тогда воспользовавшись подсказками Brukvalub можно записать следующее равенство
$d=(a^2+b^2)/e$

Правильно?

[Brukvalub]

Да.

[OlegCh]

timtam в сообщении #1094651 писал(а):

Правильно?

Нет.
(куда-то двойку потеряли)

[timtam]

OlegCh в сообщении #1094812 писал(а):

timtam в сообщении #1094651 писал(а):

Правильно?

Нет.
(куда-то двойку потеряли)

Вообще-то исходя из второго, правильного чертежа - ничто никуда не потерялось.
Некуда там просто двойку добавить
Попробуйте сами еще раз посчитать.
Ну и опять же Brukvalub-у лично я доверяю больше.

[OlegCh]

timtam в сообщении #1094840 писал(а):

Ну и опять же Brukvalub-у лично я доверяю больше.

Да тут вопрос не в доверии, причем здесь, доверяю не доверяю. Это же геометрия, а не какая-нибудь там политология-болтология.

$AF\cdot FC=BF\cdot FE$

$\displaystyle \left (\frac{AC}{2} \right )^{2}=\frac{BD}{2}\cdot \left (BE-\frac{BD}{2} \right )$

$\displaystyle \frac{AC^{2}}{4}=\frac{BD\cdot BE}{2}-\frac{BD^{2}}{4}$

$\displaystyle \frac{1}{2}\cdot \left (AC^{2}+BD^{2} \right )=BD\cdot BE$

$\displaystyle BD=\frac{AC^{2}+BD^{2}}{2\cdot BE}$

Теперь верите?

[Brukvalub]

OlegCh в сообщении #1094978 писал(а):

Теперь верите?

Вот теперь точно никто не поверит. Плохо, когда человек ошибается, но много хуже - когда упорствует в своей очевидной ошибке!

[OlegCh]

Покажите, пожалуйста, очевидную ошибку.

[grizzly]

OlegCh в сообщении #1094980 писал(а):

Покажите, пожалуйста, очевидную ошибку.

Так вот же:

OlegCh в сообщении #1094812 писал(а):

куда-то двойку потеряли

[Brukvalub]

OlegCh, жалея ваш "шаблон", который явно рвется в клочья, предлагаю вам всмотреться в обозначения, использованные timtam.

[OlegCh]

Стоп-стоп, шаблон тут ни при чем. Это я ошибся. Сам двойку забыл.
Надо $AC^2+BD^2=2(AB^2+BC^2)$, а я это без двойки использовал: $AC^2+BD^2=AB^2+BC^2$. Ну да, признаю, ступил. Старость не радость...

Кстати, ступил-то как раз из-за Вас . Сами же в своем первом посте в п2 написали без двойки, а я и повелся, не удосужась вспомнить как следует.