Падение стержня у стенки

[Mihr]

OlegCh в сообщении #1090922 писал(а):

И что? Что происходит дальше?

Дальше правый груз продолжает скользить вправо, постепенно теряя скорость (горизонтальный импульс перераспределяется между двумя грузами), левый продолжает двигаться вниз, но приобретает также горизонтальную компоненту скорости (направленную вправо). Штанга при этом поворачивается против часовой стрелки, её центр масс опускается, точка опоры "уезжает" вправо. Вы это хотели услышать?
Извините, я плохо понимаю смысл Ваших вопросов. Если Вы видите у меня ошибку, может быть, просто укажете на неё?

[OlegCh]

Mihr в сообщении #1090925 писал(а):

левый продолжает двигаться вниз, но приобретает также горизонтальную компоненту скорости (направленную вправо).

Почему?

[Mihr]

OlegCh в сообщении #1090927 писал(а):

Почему?

Можно встречный вопрос? Куда ещё он может двигаться, если он теряет контакт со стеной, а стена расположена слева?

[svv]

Возможно, OlegCh имеет в виду следующее. В принципе, чисто геометрически, возможно движение, когда верхний шарик до самого горизонтального положения стержня остается на вертикальной стене. Что заставляет его в некоторый момент (но не раньше и не позже) оторваться от стены?

[OlegCh]

Mihr в сообщении #1090930 писал(а):

Можно встречный вопрос? Куда ещё он может двигаться, если он теряет контакт со стеной, а стена расположена слева?

Ну давайте посмотрим, какие силы действуют на этот шарик. Сила тяжести (вниз), сила реакции со стороны стенки (вправо) и сила реакции со стороны стержня (вверх-влево), так? Вначале сила реакции стенки уравновешивалась проекцией силы реакции стержня, понятно. Потом нижний шарик с ускорением движется вправо, что эквивалентно действующей на него вправо силе, которая приводит к уменьшению силы реакции стержня на верхний шарик и, следовательно, к уменьшению силы реакции стенки. Пока всё правильно. И вот скорость нижнего шарика достигает максимума. Вот я и спрашиваю, что же дальше будет с верхним шариком (в плане его взаимодействия со стеной)?

[svv]

Ниже под каждой силой подразумеваю её горизонтальную проекцию.

Сначала сила со стороны стержня отрицательна, а со стороны стенки положительна. Равнодействующая равна нулю.
Потом наступает момент, когда обе силы равны нулю. Равнодействующая всё ещё нуль.
Потом сила со стороны стержня становится положительной (если непонятно, почему, могу объяснить). Сила со стороны стенки стала бы отрицательной в том варианте задачи, где шарик привязан к стенке. Но в нашем варианте эта сила не может быть отрицательной. И равнодействующая (а с ней и ускорение) становится положительной.

-- Пт янв 15, 2016 13:48:03 --

Вот ещё один способ нахождения точки отрыва. Рассматриваем первую фазу движения, вплоть до отрыва. Условие постоянства длины стержня:
$x^2+y^2=\ell^2$
Дифференцируя это дважды по времени, получаем
$x\ddot x+y\ddot y+\dot x^2+\dot y^2=0$
Из закона сохранения энергии
$2g(\ell-y)=\dot x^2+\dot y^2$
Сложим два последних уравнения:
$x\ddot x+y\ddot y+2g(\ell-y)=0$
В точке отрыва $\ddot x=0$, $\ddot y=-g$ (из простых физических соображений), следовательно, $3y=2\ell$.

[Mihr]

OlegCh,
на Ваш последний вопрос я ответил бы так.
Если бы левый шарик скользил по направляющей, то равенство
$v_2=\frac{y}{l}\sqrt{2g(l-y)}$
оставалось бы справедливым не только до момента достижения максимальной скорости нижним шариком, а до самого конца движения. Но после прохождения максимума скорость нижнего шарика убывает - значит, в этот момент механическое напряжение в стержне меняет знак: давление внутри стержня сменяется натяжением. Это же натяжение вызывает появление $x$-компоненты импульса у первого шарика.
Не знаю, правда, устроил бы Вас этот ответ или появились бы новые вопросы
Но уже появилось объяснение svv.
Теперь, если возможно, я хотел бы узнать: всё же, по Вашему мнению, полученный выше ответ в этой задаче справедлив или нет?

[OlegCh]

Mihr в сообщении #1090972 писал(а):

Не знаю, правда, устроил бы Вас этот ответ или появились бы новые вопросы

Вполне устраивает

Mihr в сообщении #1090972 писал(а):

всё же, по Вашему мнению, полученный выше ответ в этой задаче справедлив или нет?

Надеюсь, что да. Но мы немножко застряли на отрыве, буду дальше смотреть.

[Mihr]

svv,
Ваше решение выглядит изящно, но вот этот момент

svv в сообщении #1090952 писал(а):

В точке отрыва $\ddot x=0$, $\ddot y=-g$ (из простых физических соображений)

я как-то недопонял Если соображения основываются на том, что скорость нижнего шарика в этот момент достигла максимума - тогда да, это практически очевидно. Но, может быть, Вы имели в виду что-то иное? Можете пояснить?

[OlegCh]

Mihr в сообщении #1090972 писал(а):

всё же, по Вашему мнению, полученный выше ответ в этой задаче справедлив или нет?

Тогда у меня ещё один вопрос. Проекция скорости центра масс на ось Х после отрыва ($v_{cx}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{gl}{6}}$) в дальнейшем ведь сохраняется, верно?

[Mihr]

OlegCh в сообщении #1091006 писал(а):

Проекция скорости центра масс на ось Х после отрыва ($v_{cx}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{gl}{6}}$) в дальнейшем ведь сохраняется, верно?

Ну, да. Внешних горизонтальных сил ведь теперь уже нет.

[OlegCh]

Но тогда если записать ЗСЭ для центра масс и найти вертикальную составляющую скорости ц.м. когда стержень горизонтален, а затем добавить к ней $v=\omega\frac{l}{2}=\sqrt{\frac{gl}{6}}$ (скорость первого шарика относительно ц.м. при вращении стержня относительно ц.м.), то у меня в конце концов получается другой результат для первого шарика - $\frac{3+\sqrt{41}}{3\sqrt{6}}\sqrt{gl}$). Хотя, может, и наврал где.

[Mihr]

OlegCh,
не знаю, что Вам сказать. Если Вы распишете более подробно своё решение, может быть, удастся выяснить, кто из нас неправ.
Однако, если до момента отрыва верхнего шарика приведённое выше решение справедливо, то, скорее всего, и наш с ТС ответ тоже справедлив. Потому что дальше, по сути, использовалось лишь одно уравнение (выражающее закон сохранения энергии), и там, вроде бы, ошибиться уже практически негде...

[svv]

Mihr
Да, логика примерно такая и была. Расскажу подробно, ради каких-нибудь нюансов. Для краткости: «$x$-сила» — это «проекция силы на ось $x$». «Конструкция» — это стержень с шариками. Будут и другие чудовищные сокращения.

Я исходил из того, что вплоть до момента отрыва $t_0$ все функции были гладкими (непрерывно дифференцируемыми сколько нам нужно раз). Поэтому в $t_0$ сила «верт.стена $\to$ конструкция» $=0$ (ведь пока она $\neq 0$, отрыва нет). Но это единственная сила на конструкцию, имеющая $x$-составляющую. Значит, в $t_0$ по 2 закону Ньютона $x$-ускорение ц.м. конструкции $=0$. Однако до $t_0$ верх.шарик тоже имел $x$-ускорение $=0$. Значит, и нижний тоже, то есть $\ddot x=0$.

Если $x$-сила «верт.стенка $\to$ верх.шарик», плавно меняясь, к $t_0$ стала $=0$, то $x$-сила «стержень $\to$ верх.шарик» тоже (учитывая его $x$-ускорение $=0$). Но сила «стержень $\to$ верх.шарик» всегда $\parallel$ стержню. Значит, $y$-сила «стержень $\to$ верх.шарик» тоже $=0$ в $t_0$. Тогда в $t_0$ верх.шарик находился в состоянии «мгновенного свободного падения», и его $y$-ускорение $\ddot y=-g$.

(Интересно, написанное в таком стиле можно читать?)

[Mihr]

svv,
спасибо. Читать можно вполне