Вероятность драить туалет.

[mr.tumkan2015]

В некотором отделении взвода семь солдат. Каждый день, случайным образом выбирается ровно один солдат, который будет драить туалет.
Вероятность того, что это будет делать $i$-ый солдат равна $p_i$.
$k$ -- номер первой недели, за которую имели честь успеть подраить все 7 солдат.

1) Найти вероятность того, что уникальная возможность мыть туалет каждый день на некоторой неделе досталась первому солдату.
2) Найти вероятность того, что в понедельник $k$-ой недели драить туалет будет первый солдат.

1) $7p_1(1-p_2)(1-p_3)(1-p_4)(1-p_5)(1-p_6)(1-p_7)$?

Правильно?

2) $p_1(1-p_2)(1-p_3)(1-p_4)(1-p_5)(1-p_6)(1-p_7)$?

[venco]

Возможно, я условия не понял, но в 1) ведь все семь солдат драили на этой неделе, значит никак не первый солдат все семь дней.

[gris]

Я понял, что два пункта между собой не связаны. То есть в 1) неделя произвольная, а в 2) та, в которой неделя уже закончилась, то есть вопрос надо ставить так: "Найти вероятность того, что в понедельник туалет мыл первый солдат".
1) Допустим, что в отделении первый солдат невезунчик, и его вероятность чрезвычайно близка к единице. Тогда по Вашему ответу получается вероятность, большая единички. То есть $7$ явно не в том месте стоит.
2) Тут явно условная вероятность. Но подумайте, нельзя ли обойтись соображениями некоторой "одинаковости" дней недели?

И вообще: по каким это правилам Вы перемножаете вероятности?

[svv]

(Оффтоп)

gris в сообщении #1088646 писал(а):

Допустим, что в отделении первый солдат невезунчик, и его вероятность чрезвычайно близка к единице. Тогда по Вашему ответу получается вероятность, большая единички.

Вероятность мытья туалета одним солдатом целую неделю, большая единицы — да, это в самом деле можно считать невезением. Ладно, и не через такое проходили.

[mr.tumkan2015]

Спасибо. Не уж-то в пункте 2 будет вероятность $\dfrac{1}{7}$?

Или нужно по Байесу вот так? $\dfrac{\frac{1}{7}\cdot p_1}{\frac{1}{7}\left(p_1+..+p_7\right)}$

Напортачил с независимостью, спасибо, что поправили.

[Cash]

Такое ощущение, что вы тыкаете наугад во всё подряд, вместо того, чтобы подумать.
Интересны ваши посылки, а не ответы

(включил зануду)

НЕУ́ЖТО, нареч. (разг.). То же, что неужели. «Неужто так меня три года изменили?» Грибоедов. «Неужто отцовы слова так тяжело слушать?» Максим Горький.
Толковый словарь Ушакова.

[gris]

А чему равна сумма всех семи туалетных вероятностей.
Вообще эти словесные изощрённости затуманивают мозги. Лучше стандартный кубик покидать. Скажем, кидаем его шесть раз подряд. Какова вероятность выпадения единицы все шесть раз? Какова вероятность того, что выпадут все шесть граней? Если в этой серии такое случилось, то какова вероятность того, что в первый раз выпала тройка? Ну и тому подобное. Когда наступит полное понимание, можно сделать нестандартный кубик с разными вероятностями. А уж потом перенести это дело в туалет или в космос.
И ведь слышал я ровно эти слова на семинаре. Блажен тот, кто начинает интересоваться ТВ в школе. В универе не успеваешь оглянуться, а уже ЦПТ
Cash, а мне другая цитата вспомнилась: "Не уж то был — гадюка злая."

[Cash]

(Оффтоп)

gris, нам помимо солдат ещё и змеюк здесь не хватало

[mr.tumkan2015]

gris в сообщении #1088897 писал(а):

Скажем, кидаем его шесть раз подряд.
1) Какова вероятность выпадения единицы все шесть раз?
2) Какова вероятность того, что выпадут все шесть граней?
3) Если в этой серии такое случилось, то какова вероятность того, что в первый раз выпала тройка?
Ну и тому подобное. Когда наступит полное понимание, можно сделать нестандартный кубик с разными вероятностями. А уж потом перенести это дело в туалет или в космос.
И ведь слышал я ровно эти слова на семинаре. Блажен тот, кто начинает интересоваться ТВ в школе. В универе не успеваешь оглянуться, а уже ЦПТ
Cash, а мне другая цитата вспомнилась: "Не уж то был — гадюка злая."

1) $\left(\dfrac{1}{6}\right)^6$

2) $\dfrac{6}{6}\cdot \dfrac{5}{6}\cdot \dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{4}{6}\cdot \dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{6}\cdot \dfrac{1}{6}= \dfrac{6!}{6^6}$

3) Пусть $H$ - в этой серии такое случилось.

$A$ - в первый раз выпала тройка.

$P(A|H)$ -вероятность того, что в первый раз выпала тройка, при условии того, что все шесть раз выпали разные числа.

Ну так, если выполняется гипотеза $H$, то мы просто распределяем различные грани между бросками, что есть просто перестановки.

По факту получается, что число перестановок всех граней $6!$, если зарезервировать первое место за тройкой, то таких перестановок с тройкой на первом месте будет $5!$. Потому вероятность $\frac{1}{6}$.

Ну или просто мы выбираем наугад место для тройки. 1 благоприятный исход из шести, потому $\frac{1}{6}$.

Верно?

-- 08.01.2016, 13:34 --

Вроде как тогда и в задаче про туалеты в первом пункте будет $\dfrac{1}{7}$ по тем же причинам, потому как $p_i$ не при делах, для них просто места выбираются. Правильно?

[gris]

Всё правильно. (в пункте 2 небольшая описка, которая не повлияла на ответ.) Теория вероятностей близка к обыденной жизни, поэтому в задачах нам часто подсказывает здравый смысл или соображения симметричности, инвариантности, независимости. Иногда совершенно неправильно. Но если побольше упражняться, то интуиция не будет вас подводить. И, конечно, бывает приятно, когда решение "по соображениям" подтверждается строгим доказательством.