Произведение суммы чётных делителей на сумму нечётных

[Ktina]

Для каждого чётного натурального числа найдём сумму всех его чётных делителей и сумму всех его нечётных делителей, а затем перемножим эти сии суммы.
Получим последовательность:
2 6 32 14 72 96 128 30 338 216 ...
Легко доказать, что в этой последовательности вы не встретите ни одного квадрата. Зато уже среди первых десяти её членов можно встретить куб, а также пятую и седьмую степени.

А как у нас обстоят дела с более высокими степенями (с нечётными, разумеется, показателями)? Верно ли, что для любого положительного нечётного $k$ найдётся $k$-ая степень?

-- 03.01.2016, 17:30 --

Легко, например, увидеть, что если $2^n-1$ является простым, то можно встретить $2n+1$ - ю степень. Скажем, для числа $62=2\cdot 31=2\cdot (2^5-1)$ произведение суммы чётных делителей на сумму нечётных равно $2048=2^{11}$

-- 03.01.2016, 17:32 --

А как быть, в частности, с девятой степенью?

[maxal]

Представим число в виде $2^s\cdot m$, где $m$ -- нечетно. Тогда сумма его нечётных делителей равна $\sigma(m)$, а сумма четных -- $(2^{s+1}-2)\cdot \sigma(m)$. Соответственно, их произведение равно $(2^{s+1}-2)\cdot \sigma(m)^2$.

Существование нечётных степеней такого вида, скорее всего, для всякого фиксированного $s$, включая $s=0$ и $s=1$.

Например, для $s=1$, чтобы получить степень $2n+1$, достаточно, чтобы $\sigma(m)=2^n k^{2n+1}$, где $k$ -- нечетно. Девятую степень таким образом можно получить для $k=3$, причем несколькими способами:

$$2m\in \{ 393630, 446046, 481030, 514630, 603566, 620966, 629854 \}.$$

Тринадцатая степень для $k=3$ тоже получается многими вариантами:

$$2m\in \{ 118202190, 127385490, 143202594, 146677578, 148795698, \dots \}$$

и т.п.

[Ktina]

maxal
Спасибо!