Помогите понять откуда вытекает тождество?

[djturxan]

Здравствуйте. Читаю про комплексные числа. Здесь приведено доказательство биномиальной теории.

Объясните, пожалуйста, откуда вытекают эти две суммы? Конкретно не могу понять почему меняются границы на n + 1, а во второй сумме k вообще с 1 начинается.

[Mihr]

djturxan,
первая из полученных сумм получается, если принять формальное соглашение о том, что при $k=n+1$ соответствующий биномиальный коэффициент равен нулю. Это выглядит искусственно, но зато позволяет распространить известное рекуррентное соотношение для биномиальных коэффициентов в том числе на случай $n=k$.
Что касается второй суммы: так получается, если выполнить сначала подстановку $k=i-1$, а затем переобозначение: вместо индекса суммирования $i$ вновь написать $k$. Так делать можно, поскольку от обозначения индекса суммирования значение суммы не зависит.
По поводу изменения границ для индекса суммирования: к первой сумме чисто формально прибавлено нулевое слагаемое; во второй сумме сдвинулись и нижняя, и верхняя границы изменения индекса суммирования в силу упомянутой подстановки $k=i-1$. Кстати, если Вы заметили, на следующем шаге тождественных преобразований в этой (второй) сумме также появляется нулевое слагаемое. Но не в качестве последнего, а, наоборот, в качестве предшествующего первому.

[djturxan]

Mihr,
(n+1)-сочетание из n дает нам отрицательное значение.$\dfrac{n!}{(-1)!(n+1)!}$. А такое нельзя вычислять или это означает, что отрицательное значение можно принимать как нуль?

[Brukvalub]

djturxan в сообщении #1087258 писал(а):

(n+1)-сочетание из n дает нам отрицательное значение.

Обычно такие сочетания считают равными $0$ (исправлена описка после замечания Vince Diesel ) .

[Vince Diesel]

djturxan в сообщении #1087258 писал(а):

А такое нельзя вычислять или это означает, что отрицательное значение можно принимать как нуль?

$C_n^k=0$ при $k<0$ или $k>n$.

[djturxan]

Теперь все стало на свои места)) Всем огромное спасибо!

[ewert]

djturxan в сообщении #1087258 писал(а):

дает нам отрицательное значение.$\dfrac{n!}{(-1)!(n+1)!}$. А такое нельзя вычислять или это означает, что отрицательное значение можно принимать как нуль?

Ну если факториал интерпретировать через соотв. гамма-функцию, то, между прочим,как раз ноль и получится.

-- Чт дек 31, 2015 13:58:09 --

Mihr в сообщении #1087235 писал(а):

если принять формальное соглашение о том, что при $k=n+1$ соответствующий биномиальный коэффициент равен нулю. Это выглядит искусственно,

И, кстати, это выглядит вполне естественно и ещё по как минимум одной причине: биномиальные коэффициенты -- это коэффициенты (с точностью до знаков) соответствующего конечноразностного оператора, а у него все прочие коэффициенты просто формально равны нулю.