Гомоморфизм, ядро, образ

[Good_student]

По условию отображение \varphi:T(n,R)\rightarrow D(n,R).

Гомоморфизм доказал, ядро нашел (матрицы с определителем 1), но возник вопрос с образом.
Я правильно понимаю, что образ - элементы из D(n,R), для которых при данном гомоморфизме есть элемент из T(n,R)?

В таком случае у меня получается, что Im \varphi=D(n,R). Тогда данный гомоморфизм - эпиморфизм, так?

[мат-ламер]

Good_student в сообщении #1086192 писал(а):

По условию отображение \varphi:T(n,R)\rightarrow D(n,R)

Это дословная формулировка задания? Там больше никаких пояснений нет (что какие буквы обозначают)?

[Good_student]

Цитата:

Это дословная формулировка задания? Там больше никаких пояснений нет (что какие буквы обозначают)?

T(n,R) - это верхнетреугольные матрицы вида $$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$. D(n,R) -это диагональные матрицы вида $=\begin{pmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$$

[AV_77]

Good_student в сообщении #1086192 писал(а):

Тогда данный гомоморфизм - эпиморфизм, так?

Это так. А с ядром повнимательнее посмотрите.

[Good_student]

AV_77

А что не так с ядром? Единичный элемент из D(n,R) - единичная матрица, в неё будут отображаться все матрицы вида $$\begin{pmatrix} 1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 &1 & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \\ \end{pmatrix}$

[Xaositect]

Это верно, а вот матриц с единичным определителем больше.

[Good_student]

Xaositect
Но ведь только приведенная мной содержится в T(n,R)

Кажется, я неправильно выразился в своем первом сообщении. Написал "матрицы с определителем 1", а имел ввиду "матрицы из T(n,R) с определителем 1"

[AV_77]

Good_student в сообщении #1086234 писал(а):

Но ведь только приведенная мной содержится в T(n.R).

Не только они, а еще, очень много других.

[Good_student]

AV_77
Даже если добавить отрицательные числа и сказать, что общий вид ядра будет

$$\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\ \end{pmatrix}$$

, где $a_{11}a_{22}...a_{nn}=1$, то ядро по прежнему - матрицы из T(n,R) с определителем 1.
Cовсем запутался, в каком моменте мои рассуждения не верны?

[AV_77]

Good_student в сообщении #1086236 писал(а):

ядро по прежнему - матрицы из T(n,R) с определителем 1.

Нет, конечно. Вот пусть $n = 3$. Матрица
$\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0.5 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
лежит в ядре или нет?

[Good_student]

AV_77
Понял, спасибо