2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 15:59 
По условию отображение \varphi:T(n,R)\rightarrow D(n,R).

Гомоморфизм доказал, ядро нашел (матрицы с определителем 1), но возник вопрос с образом.
Я правильно понимаю, что образ - элементы из D(n,R), для которых при данном гомоморфизме есть элемент из T(n,R)?

В таком случае у меня получается, что Im \varphi=D(n,R). Тогда данный гомоморфизм - эпиморфизм, так?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 16:53 
Аватара пользователя
Good_student в сообщении #1086192 писал(а):
По условию отображение \varphi:T(n,R)\rightarrow D(n,R)

Это дословная формулировка задания? Там больше никаких пояснений нет (что какие буквы обозначают)?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:06 
Цитата:
Это дословная формулировка задания? Там больше никаких пояснений нет (что какие буквы обозначают)?


T(n,R) - это верхнетреугольные матрицы вида $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}$. D(n,R) -это диагональные матрицы вида $=\begin{pmatrix}
a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & a_{22} & \cdots & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}$$

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:26 
Good_student в сообщении #1086192 писал(а):
Тогда данный гомоморфизм - эпиморфизм, так?

Это так. А с ядром повнимательнее посмотрите.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:50 
AV_77

А что не так с ядром? Единичный элемент из D(n,R) - единичная матрица, в неё будут отображаться все матрицы вида $$\begin{pmatrix}
1 & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 &1 & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & 1 \\
\end{pmatrix}$

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:51 
Аватара пользователя
Это верно, а вот матриц с единичным определителем больше.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 17:59 
Xaositect
Но ведь только приведенная мной содержится в T(n,R)

Кажется, я неправильно выразился в своем первом сообщении. Написал "матрицы с определителем 1", а имел ввиду "матрицы из T(n,R) с определителем 1"

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:04 
Good_student в сообщении #1086234 писал(а):
Но ведь только приведенная мной содержится в T(n.R).

Не только они, а еще, очень много других.

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:16 
AV_77
Даже если добавить отрицательные числа и сказать, что общий вид ядра будет $$\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
0 & 0 & \cdots & a_{nn} \\
\end{pmatrix}$$, где $a_{11}a_{22}...a_{nn}=1$, то ядро по прежнему - матрицы из T(n,R) с определителем 1.
Cовсем запутался, в каком моменте мои рассуждения не верны?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:19 
Good_student в сообщении #1086236 писал(а):
ядро по прежнему - матрицы из T(n,R) с определителем 1.

Нет, конечно. Вот пусть $n = 3$. Матрица
$\begin{pmatrix}
2 & 1 & 1 \\
0 & 0.5 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}$
лежит в ядре или нет?

 
 
 
 Re: Гомоморфизм, ядро, образ
Сообщение27.12.2015, 18:23 
AV_77
Понял, спасибо

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group