Не понятно как автор вывел неравенство?

[Cynic]

Читаю Фихтенгольца, там он в разделе "Понятие об обратной функции" пишет:
Исходя из теоремы сложения синуса $\sin (\alpha + \beta ) = sin\alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta$ можно получить теорему сложения для арксинуса. Именно, положим здесь $\alpha = \arcsin x$, $\beta = \arcsin y$ (где $x$ и $y$ лежат между -1 и +1); тогда $\sin \alpha = x,\sin \beta = y$, а $\cos \alpha = \sqrt {1 - {x^2}} ,\cos \beta = \sqrt {1 - {y^2}}$, причем корни берутся со знаком плюс, так как углы $\alpha$ и $\beta$, по характерному свойству главного значения арксинуса, лежат между $-\frac{\pi }{2}$ и $\frac{\pi }{2}$, так что косинусы их положительны.
Итак,
$\sin (\alpha + \beta ) = x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}}$
откуда
$\alpha + \beta = \arcsin x + \arcsin y = Arc\sin (x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} )$
Формула может быть написана проще:
$\arcsin x + \arcsin y = arc\sin (x\sqrt {1 - {y^2}} + y\sqrt {1 - {x^2}} )$
лишь в том случае, если и $\alpha + \beta$ не выходит из промежутка $\left[ { - \frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}} \right]$. Это условие автоматически выполняется, если аргументы $x$ и $y$ (а с ними $\alpha$ и $\beta$) имеют различные знаки. В случае же одинаковых знаков высказанное условие, как легко видеть, равносильно такому:
${x^2} + {y^2} \leqslant 1$

Последнее мне не понятно. Как он вывел неравенство ${x^2} + {y^2} \leqslant 1$

[provincialka]

Рассмотрим для определенности $x\geqslant 0, y\geqslant 0$, то есть углы $\alpha,\beta$ из первой четверти. Имеем $1-y^2 = \cos^2\beta=\sin^2(\frac\pi2-\beta)$ так что неравенство приобретает вид $\sin^2\alpha \leqslant \sin^2(\frac\pi2-\beta)$ то есть, в силу неотрицательности $\sin\alpha \leqslant \sin(\frac\pi2-\beta)$, а в силу монотонности синуса и $\alpha \leqslant \frac\pi2-\beta$.
Рассуждения можно провести и в обратную сторону.

[Cynic]

provincialka в сообщении #1085826 писал(а):

Рассуждения можно провести и в обратную сторону.

В обратную сторону затык у меня возник
Возьмем для определенность $x > 0$, $y > 0$. Т.к. $- \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}$ и $x > 0$, $y > 0$, то $\alpha$ и $\beta$ принадлежат первой четверти.
Для случая $\alpha + \beta \leqslant \frac{\pi }{2}$ получается:

$\alpha \leqslant \frac{\pi }{2} - \beta$
$\sin \alpha \leqslant \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \beta } \right) = \cos \beta = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }$
${\sin ^2}\alpha \leqslant 1 - {\sin ^2}\beta$
${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta \leqslant 1$
${x^2} + {y^2} \leqslant 1$

А вот для случая $- \frac{\pi }{2} \leqslant \alpha + \beta$ чего то так не получается:

$\alpha \geqslant - \frac{\pi }{2} - \beta$
$\sin \alpha \geqslant \sin \left( { - \left( {\frac{\pi }{2} + \beta } \right)} \right) = - \sin \left( {\frac{\pi }{2} + \beta } \right) = - \cos \beta = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\beta }$
${\sin ^2}\alpha \geqslant 1 - {\sin ^2}\beta$
${\sin ^2}\alpha + {\sin ^2}\beta \geqslant 1$
${x^2} + {y^2} \geqslant 1$, что весьма неожиданно.

Я понимаю что это я туплю, вопрос только где?

[KOH]

Cynic в сообщении #1086562 писал(а):

Я понимаю что это я туплю, вопрос только где?

Так Вы совершаете возведение в квадрат, что не относится к равносильным преобразованиям.

[Cynic]

KOH в сообщении #1086620 писал(а):

Так Вы совершаете возведение в квадрат, что не относится к равносильным преобразованиям.

Я тоже об этом подумал. Вопрос в том что с этим делать?