2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Ожидание числа безбилетников
Сообщение17.12.2015, 22:38 


07/04/15
244
По маршруту ходит $N$ автобусов без кондуктора. В каждом автобусе имеется касса, в которой перед выходом на рейс было $r$ билетов. Всего эти автобусы перевезли $n$ пассажиров. Найти математическое ожидание числа $\xi$ пассажиров, которым не досталось билетов, предполагая, что каждый пассажир независимо от остальных может сесть в любой из автобусов с одной и той же вероятностью $\frac{1}{N}$ .

Я решал так:

Пусть $X_i$ это число пассажиров, которое село в $i$ автобус. Для каждого пассажира мы проводим испытание Бернулли, с вероятность $\frac{1}{N}$ в испытании пассажир сел в $i$ автобус, с вероятностью $(1-\frac{1}{N})$ в другой. Тогда
$$
P(X_i=k)=\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k}
$$

Пусть $Y_i$ число пассажиров без билетов в автобусе $i$. Тогда:
$$
Y_i=\left\{\begin{matrix}
X_i-r &, X_i>r \\
0 &, X_i\leq r 
\end{matrix}\right.
$$

Найдем м.о. для $Y_1$:
$$
\mathbb{E}Y_1=\sum\limits_{k=r+1}^{n}k\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k}
$$

Тогда математическое ожидание числа $\xi$ пассажиров, которым не досталось билетов:
$$
N\sum\limits_{k=r+1}^{n}k\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k}
$$

Верно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Ожидание числа безбилетников
Сообщение17.12.2015, 22:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
2old в сообщении #1083079 писал(а):
Найдем м.о. для $Y_1$:
$$
\mathbb{E}Y_1=\sum\limits_{k=r+1}^{n}k\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k}
$$

Вот здесь непонятно. Почему вероятность умножается на общее число людей в автобусе? :shock:

 Профиль  
                  
 
 Re: Ожидание числа безбилетников
Сообщение17.12.2015, 23:06 


07/04/15
244
Brukvalub
Надо на $k-r$, описался, спасибо

Тогда математическое ожидание числа $\xi$ пассажиров, которым не досталось билетов:
$$
N\sum\limits_{k=r+1}^{n}(k-r)\binom{n}{k}\frac{1}{N}^k(1-\frac{1}{N})^{n-k}
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group